Понятие о потоке вектора и его дивергенции. Теорема Остроградского-Гаусса. Теорема Гаусса для вектора Е в дифференциальной и интегральной форме

По определению потоком векторного поля через площадку называется величина

Если поле неоднородно или поверхность, через которую вычисляется поток, не является плоской, то определение потока нужно применить к бесконечно малому элементу поверхности, а именно, записать: Тогда поток через всю поверхность S будет:

где .

Заметим, что поток – величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении Ф_Е. Изменение направления нормали на противоположное изменит знак E_n, а значит и знак потока Ф_Е. В случае замкнутых поверхностей принято считать знак потока положительным, если силовые линии поля выходят из охватываемой области наружу. Численно поток равен количеству силовых линий, пресекающих данную поверхность. Размерность потока в СИ: [ Ф_Е ] = В·м (отметим, что она совпадает с размерностью величины q/ε_о).

Окружим точечный заряд q замкнутой сферической поверхностью радиуса r ивычислим поток электрического поля точечного заряда через эту поверхность.

По определению имеем: ,

где - напряженность электрического поля в направлении внешней нормали, ; - элемент поверхности, , - элемент телесного угла.

Вычисляем:

Мы видим, что полученный результат не зависит от формы и размеров выбранной поверхности. Это очевидно, поскольку поток численно равен количеству силовых линий, пересекающих данную поверхность, и в случае выбора замкнутой поверхности любой другой формы он не изменится, так как силовые линии нигде не прерываются.

Если внутри замкнутой поверхности имеется несколько зарядов, то поток их результирующего поля, согласно принципу суперпозиции, будет равен:

В частности, если система зарядов находится вне выбранной поверхности (рис. 5) или алгебраическая сумма всех зарядов, заключенных под поверхностью, равна нулю, то поток .

Доказанная выше теорема, носит название теоремы Гаусса (Gauss C., 1777–1855). Полная ее формулировка звучит так: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности (деленной на ):

Отметим, что теоремаГаусса является прямым следствием закона Кулона и является одной из основных теорем электростатики.

В ряде случаев теорема Гаусса позволяет найти напряженность электрического поля протяженных заряженных тел, не прибегая к вычислению громоздких интегралов. Обычно это относится к телам, чья геометрическая форма обладает определенными элементами симметрии (шар, цилиндр, плоскость).

Например. Напряженность электрического поля равномернозаряженной плоскости