Уравнение гармонической бегущей волны

Упругие среды. Продольные и поперечные волны

Лекция 1. Волны в упругих средах

I. Волновые свойства упругих и электромагнитных волн

Издательство МГАПИ

УДК 53

Методическое пособие

Часть III

Физика

Беланов А. С.

Приборостроения и информатики

«Оптика»

«Элементы квантовой механики»

Москва, 2003

Утверждено Ученым советом МГАПИ

29.06.1998г. в качестве учебного пособия

Рецензент – доцент, к.ф.-м.н. Попова Т. В.

Учебное пособие предназначено для студентов МГАПИ,

изучающих физику в течении 4-х семестров

Ф и з и к а, ч а с т ь III

В этом семестре будем изучать волновые свойства упругих и электромагнитных волн, квантовые свойства электромагнитного излучения, элементы квантовой механики и атомной физики.

В первой части курса были рассмотрены простейшие случаи механических колебаний. При этом мы не интересовались процессами, происходящими в среде, окружающей колебательную систему. Сейчас мы обратим на это внимание.

Будем полагать, что имеем сплошную упругую среду, например, твердое тело, жидкости, газы. Для упругой среды характерно возникновение упругих деформаций при внешнем воздействии на нее. Эти деформации полностью исчезают после прекращения внешних воздействий.

Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться в среде с некоторой скоростью v.

Процесс распространения колебаний в среде называется волной. Иначе, возмущение, распространяющееся в пространстве (среде), называется волной.

Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими или механическими волнами.

Звуковыми или акустическими волнами называются упругие волны, обладающие частотами в пределах 16-20000 Гц. Волны с частотами меньше 16 Гц (инфразвук) и больше 20000 Гц (ультразвук) органами слуха человека не воспринимаются.

Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут возбуждаться в твердых, жидких и газообразных средах. Поперечные волны могут возникать только в твердых телах.

Отметим, что распространение упругих волн не связано с переносом вещества. Бегущие волны переносят энергию колебательного движения в направлении распространения волны.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими, т.е. описываются по закону синуса или косинуса. Часто гармоническую волну называют синусоидальной.

На рис.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси x, т.е. приведена зависимость между смещением S частиц среды и расстоянием х этих частиц от источника колебаний О для фиксированного момента времени t.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l. Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространится гармоническая волна за время, равное периоду колебаний Т, т.е.

. (1)

Учитывая, что частота v = 1 /T получаем

l = v / v. (2)

т.е. длина волны обратно пропорциональна частоте.

Уравнение такой волны в общем случае имеет вид

, (3)

Для характеристики волн используется волновое число

, (4)

где w = 2 p/T = 2 pv – циклическая, (круговая) частота.

С учетом (4) получим уравнение бегущей гармонической волны

, (5)

где А – амплитуда волны, – фаза волны, j ₀– начальная фаза.

Основываясь на формуле Эйлера (), уравнение (5) можно записать в экспоненциальной (комплексной) форме

, (6)

где физический смысл имеет лишь действительная часть выражения (6). Такая форма представления волны существенно облегчает математический действия.