Методом математической индукции можно показать, что
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в том случае, когда переменные х и у функции являются независимыми.
Пусть – функция двух переменных , каждая из которых является функцией независимой переменной t: В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные – промежуточные переменные.
Теорема 3. Если – дифференцируемая в точке функция и – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции вычисляется по формуле
(8)
Дадим независимой переменной t приращение . Тогда функции получат приращения соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение функции z. Так как по условию функция дифференцируема в точке , то её полное приращение можно представить в виде
где Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда в силу непрерывности функций (по условию теоремы они дифференцируемы). Получаем:
т. е.
или
Частный случай: , где , т. е. – сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (8) имеем:
|
|
или (9)
Формула (9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: , где Тогда – сложная функция независимых переменных и . Её частные производные и можно найти, используя формулу (8) следующим образом. Зафиксировав , заменяем в ней соответствующими частными производными :
(10)
Аналогично получаем: .
Таким образом, производная сложной функции по каждой независимой переменной равна сумме произведений частных производных этой функции по её промежуточным переменным на их производные по соответствующей независимой переменной .
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Пусть , где x и y – независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид
Рассмотрим сложную функцию , где т. е. функцию где – независимые переменные.
Тогда имеем:
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций и Следовательно, и в этом случае,