П.1. Множества и операции над ними
СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ
СООТВЕТСТВИЯ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ГЛАВА 1
Основными неопределяемыми понятиями математики являются «множество», «элемент множества». Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов (объектов), обладающих общим свойством. Эти объекты бывают разной природы: числовые, геометрических фигур, людей и т.д. Договоримся называть их «элементами множества». Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита А,В, С,…, Х, У, Z, а элементы множеств – маленькими буквами латинского алфавита a, b, c, …, x, y, z. Если некоторый объект a является элементом некоторого множества A, то говорят, что «элемент а принадлежит множеству А» и обозначают а А. Таким образом, множества состоят из элементов и в зависимости от их числа бывают конечными и бесконечными, пустыми (Æ). Для записи множеств используют фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются все элементы. Но если множество бесконечное, то перечислить все его элементы мы не сможем. В таких случаях мы будем использовать такую запись:
|
|
А = { x | свойство, которым обладают все элементы}.
В нашем курсе мы будем изучать в основном числовые множества.
Далее будем использовать следующие кванторы
· общности вместо слов «для любых» или «для всех (каждого)»
· существования вместо слов «существует» или «есть»
и общепринятые математические символы вместо слов:
· А В «если А, то В» или «из А следует В»
· А В «А тогда и только тогда, когда В» или «А равносильно В»
· ˄ знак конъюнкции, заменяет союз «и»
· ˅ знак дизъюнкции, заменяет союз «или»
Множества между собой могут находиться или нет в следующих отношениях:
ü пересечения – множества А и В находятся в отношении пересечения (А∩В), если существуют элементы, принадлежащие и одному и другому множествам одновременно и существуют элементы, принадлежащие только множеству А и только множеству В;
ü включения – множества А и В находятся в отношении включения, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, говорят, что множество А является подмножеством множества В и обозначают AÌB;
ü равенства – множества A и B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.
1.1. Каждое множество является подмножеством самого себя: A Ì А.
1.2. Пустое множество является подмножеством любого множества A: Æ Ì A.
Множества A и Æ называют несобственными подмножествами множества A, все остальные – собственными подмножествами множества A.
Пусть А и В — некоторые множества.
Определение 1.1. Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначается: АÈВ.
|
|
На рис. 1 показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.
Рис. 1
Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения х Î А È В Û х Î А ˅ х Î В.
Свойства объединения множеств
Из определения следует, что в А È А входят те же самые элементы, т.е. А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А. В частности, А È Æ = А.
Операция объединения подчиняется переместительному закону:
А È В = В È А.
Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В)È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В, С.
В общем случае объединение совокупности множеств обозначается и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.
Операция объединения подчиняется сочетательному закону:
(А È В)È С = А È (В È С).
Определение 1.2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее их тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат множествам A и B. Обозначается: АÇВ.
Согласно определению пересечения х Î А Ç В Û х Î А ˄ х Î В.
Пересечение множеств А и В иллюстрируется на рис. 2.
Рис. 2
Свойства пересечения множеств
Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В Ì А, то В Ç А = В. Из определения пересечения следует: А Ç В = В Ç А, т.е. операция пересечения коммутативна.
Имеет место и следующее равенство: А Ç Æ = Æ.
Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В) Ç С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.
Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В Ç С. В общем случае пересечение совокупности множеств (i = 1, 2, …, n) обозначается и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам,.
Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:
1) (А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С);
2) (А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С).
Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).
Пусть х Î (А È В) Ç С. Значит, х Î А È В и х Î С. Из того, что х Î А È В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х Î А или х Î В. Когда х Î А, то из того, что х Î С, следует, что х Î А Ç С. Значит, х Î (А Ç С) È (В Ç С). Когда же х Î В, то из того, что х Î С, следует, что х Î В Ç С, но тогда х Î (А Ç С) È (В Ç С).
Таким образом, любой элемент множества (А È В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).
Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х Î А Ç С или х Î В Ç С, т.е. х Î А и х Î С, или х Î В и х Î С. Отсюда получаем, что х Î С и х Î А È В, а это свидетельствует о том, что х Î (А È В)Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.
Определение 1.3. Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат В. Обозначается: А \ В.
Согласно определению разности х Î А \ В Û х Î А ˄ х Ï В.
|
|
Графическое изображение разности А \ В множеств А и В показано на рисунке 3 (заштрихованная область — это А \ В).
Рис. 3
Из определения разности следует, в частности, что А \ А = Æ; А \ В ¹ В \ А.
Определение 1.4. Если множество B является подмножеством множества A, то разность множеств A и B называется дополнением множества B до множества A. Обозначается:
А \ В=САВ или или
Графическое изображение дополнения множества В до множества А показано на рис. 4.
Рис. 4