Числового ряда

Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости

Теорема 8.8. Числовой ряд сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд сходится. Тогда по свойству 1 сходящихся рядов также сходится ряд .

Так как , то по первому признаку сравнения рядов (теорема 8.2) также сходится ряд . На основании свойства 2 сходящихся рядов сходится разность двух рядов

, т. е. исходный ряд.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если он сходится и сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 8.19. Исследовать сходимость ряда .

Так как и ряд сходится как обобщенно гармонический ряд при , то по теореме 8.2 сравнения рядов сходится ряд , а по теореме об абсолютной сходимости сходится также ряд . Следовательно, исходный ряд сходится; причем абсолютно.

Пример 8.20. Исследовать на абсолютную сходимость ряд .

Ранее было показано, что данный знакочередующийся ряд сходится (пример 8.15). Ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим, который, как известно, расходится. Это означает, что исходный ряд сходится условно.