Она дает тот же финансовый результат, что и номинальная ставка j при m-разовом начислении в году.
Это наиболее часто используемая ставка среди всех эквивалентных ставок.
Задача 8.
Рассчитать накопленную сумму процентов за 1 год, если начальный капитал К = 1000 руб., годовая ставка j = 10%, при ежегодном, полугодовом, квартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении процентов. Найти базисные и цепные наращения. Для каждого случая рассчитать эффективные ставки и сделать по ним начисления на ту же сумму начального капитала.
Решение:
Начальный капитал К | Частота начисления процентов в году m | Наращенная сумма | Базисное наращение (сравнение с ежегодным начислением процентов) | Цепное наращение (сравнение по цепочке с предыдущим начислением) |
ежегодное (m = 1) | - | - | ||
полугодовое (m = 2) | 1102,50 | 1102,5-1100 = 2,50 | 2,50 | |
квартальное (m = 4) | 1103,81 | 1103,81-1100 = 3,81 | 1103,81-1102,50 = 1,31 | |
ежемесячное (m =12) | 1104,71 | 4,71 | 1104,71-1103,81 = 0,90 | |
ежедневное (m =365) | 1105,16 | 5,16 | 0,45 | |
непрерывное (m = ¥) | 1105,17= 1000×e | 5,17 | 0,01 |
Рассчитаем эффективные ставки:
и сделаем начисление на 1000 руб. по эффективной ставке, , n = 1год.
Число начислений m | m=1 | m=2 | m=4 | m=12 | m=365 | m=¥ |
Эффективная ставка i | 0,1 | 0,1025 | 0,10381 | 0,10471 | 0,10516 | 0,10517 |
Наращенная сумма | 1102,50 | 1103,81 | 1047,1 | 1051,6 | 1051,7 |
Сравните наращенные суммы в таблицах. Они одинаковы, что по эффективной ставке, что по номинальной ставке при определенном числе начислений процентов в году.
Этот факт следует из понятия эквивалентных ставок: они обязаны давать одинаковый финансовый результат.
Основные уравнения эквивалентности
1. Простой процентной ставки i и простой учетной ставки d:
;
2. Простых и сложных ставок:
а) Простой процентной ставки i и сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов в году:
б) Простой процентной ставки i и сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов в году:
3. Сложной процентной ставки j и сложной учетной ставки f:
4. Сложных и непрерывных ставок:
а) Сложной ставки i и непрерывной ставки d:
б) Сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки d:
в) Сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки d:
Из каждого соотношения при любой известной ставке можно найти эквивалентную ей ставку.
Задача 9.
Найти номинальную процентную ставку, если полугодовая эффективная ставка 6 %.
Решение:
Из уравнения эквивалентности номинальной j и эффективной i ставок найдем j:
,
Þ Вывод: номинальная годовая ставка всегда чуть меньше эффективной.
Þ
Задача 10.
Найти эквивалентную учетную ставку d для сложной годовой ставки j=0,12 при квартальном начислении процентов(m=4). Начислить проценты по обеим ставкам на 1000 руб. Сравнить результаты (Срок n=1 год).
Задача 12.
Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста
Решение:
Уравнение эквивалентности:
.
Наращенная сумма по сложной годовой процентной ставке j=12% при квартальном начислении процентов:
руб.,
Наращенная сумма по эквивалентной сложной годовой учетной ставке f =11,65% при квартальном начислении процентов:
руб.
Естественно, что , т.к. эквивалентные ставки дают одинаковое наращение.
Задача 12.
Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?
Решение:
Воспользуемся уравнением эквивалентности сложной и непрерывной ставок:
Найдем из этого уравнения непрерывную ставку.
Непрерывная ставка d=13,976% и сложная ставка I=15% дают одинаковый финансовый результат. Например, при начальном капитале K=2000 руб., сроке n=4 года, имеем