Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина
M [ X ] = p 1 x 1 + p 2 x 2 +... + p 3 x 3 +... (4)
Замечание. Математическое ожидание представляет взвешенное среднее значение случайной величины с весовыми коэффициентами равными соответствующим вероятностям. Математическое ожидание часто также называют средним значением случайной величины.
В дальнейшем, наряду с обозначением (4), для математического ожидания M [ X ] будем использовать обозначение .
Заметим, что если X и Y случайные величины, то X 2, Y 2, CX, X + C, X – C (где ) и X + Y также являются случайными величинами.
Перечислим основные свойства математического ожидания.
10. M [ C ] = C, где С есть случайная величина, принимающая только постоянное значение С, то есть величина с законом распределения
X | C |
P |
20. M [ CX ] = C M [ X ] ;
30. M [ X + Y ] = M [ X ] + M [ Y ].
Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина
(5)
Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины X.
|
|
Заметим, что дисперсия характеризует величину отклонения (рассеивания) случайной величины X от ее среднего значения .
Если рассмотреть случайную величину , то очевидно, что
(7)
Утверждение. Если X дискретная случайная величина, то
(8)
Доказательство.
Из (7) и свойств 10 – 30 следует
Утверждение доказано.
Сформулируем основные свойства дисперсии дискретной случайной величины:
10. D [ C ] = 0;
20. D [ CX ] = C2 D [ X ];
30. D [ αX + β ] = α 2 D [ X ].