1. Вычисляем и (см. Пример 5).
2. Находим теоретические частоты .
Их можно вычислить двумя способами.
Первый способ
,
где - объем выборки, - шаг, ;
- функция Гаусса, значение которой в точке
находим по таблице (Приложение 1).
- вероятность попадания значений случайной
величины в - й интервал.
Для вычисления составляем табл. 9.
Таблица 9
Второй способ.
где - объем выборки, ,
- вероятность попадания в - й интервал,
- значение функции Лапласа (Приложение 2).
Полагают , .
Для вычисления составляем табл. 10.
Таблица 10
Границы интервала | Границы интервала | ||||||||
-0,5 | |||||||||
0,5 | |||||||||
3. Сравниваем эмпирические () и теоретические () частоты с помощью критерия Пирсона.
Для этого:
1) составляем расчетную табл.11, по которой находим
- наблюдаемое значение критерия
Таблица 11.
Контроль: .
2) Находим число степеней свободы :
где - число интервалов; - число параметров предполагаемого распределения,
Для нормального распределения , так как (нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами и ).
4. В таблице критических точек (квантилей) распределения
(Приложение 3) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы
находим правосторонней критической области.
Если - нет оснований отвергнуть гипотезу
о нормальном распределении генеральной совокупности.
Если - гипотезу отвергаем.
Замечание.
1) Объем выборки должен быть достаточно велик .
2) Малочисленные частоты следует объединить. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить.
Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле следует в качестве принять число интервалов, оставшихся после объединения частот.
Пример 10. Пусть из генеральной совокупности задана выборка объемом 50 (табл.4). Требуется проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по данной выборке.
¦ 1. Из рассмотренных выше примеров известно:
- интервальный ряд табл. 12
Таблица 12
Интервалы | ||||
Частоты |
Интервалы | ||||
Частоты | . |
- числовые характеристики выборки , ,
, (см. Пример 5).
2. Проверим гипотезу с помощью средних квадратических отклонений коэффициентов и .
Критерием распределения выборки по нормальному закону является равенство нулю коэффициентов и .
Если они отличны от нуля, то для предварительного выбора закона распределения вычисляют средние квадратические отклонения для и :
Если и отличаются по модулю от нуля не более чем на удвоенные средние квадратические отклонения, то есть и , то можно предположить, что данная выборка распределена по нормальному закону.
Рассчитаем
.
Для условие критерия выполняется: .
Для условие критерия выполняется: .
Гипотезу принимаем, то есть можно предположить, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.
3. Проверим гипотезу по критерию Пирсона.
1) , .
2) Найдем теоретические частоты вторым способом.
Интервальный ряд (табл.12) содержит интервалы с частотами меньшими 5. Следовательно, два первых и два последних интервала объединяем, при этом соответствующие частоты суммируем.
Составим расчетную табл.13 по форме табл.10.
Таблица 13
Границы интервала | Границы интервала | ||||||||
-2,06 | -0,86 | -1,01 | -0,5 | -0,3438 | 0,1562 | 7,81 | |||
-0,86 | -0,26 | -1,01 | -0,28 | -0,3438 | -0,1103 | 0,2335 | 11,675 | ||
-0,26 | 0,34 | -0,28 | 0,45 | -0,1103 | 0,1736 | 0,2839 | 14,195 | ||
0,34 | 0,94 | 0,45 | 1,19 | 0,1736 | 0,3830 | 0,2094 | 10,47 | ||
0,94 | 2,14 | 1,19 | 0,3830 | 0,5 | 0,1170 | 5,85 | |||
3) Сравним эмпирические () и теоретические () частоты. Для этого составляем расчетную табл.14 по форме табл.11
Таблица 14
7,810 | 0,190 | 0,0361 | 0,0046 | 8,1946 | |||
11,675 | -0,675 | 0,4556 | 0,0390 | 10,3640 | |||
14,195 | 0,805 | 0,6480 | 0,0457 | 15,8507 | |||
10,470 | 0,530 | 0,2809 | 0,0268 | 11,5568 | |||
5,850 | -0,850 | 0,7225 | 0,1235 | 4,2735 | |||
0,2396 | 50,2396 |
Контроль:
. Расчеты проведены верно.
4) Зададим .
Вычислим число степеней свободы и найдем (Приложение 3). Получим .
Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности .
Другими словами различие между эмпирическими () и теоретическими () частотами незначительное (случайное), которое можно объяснить малым объемом выборки.
Построим нормальную кривую. Для этого составим табл.15.
Таблица 15
Середины интервалов | -1,76 | -1,16 | -0,56 | 0,04 | 0,64 | 1,24 | 1,84 |
0,05 | 0,19 | 0,39 | 0,52 | 0,34 | 0,14 | 0,03 |
Рис.5
Так как гипотеза о нормальном распределении не отвергается, то нормальная кривая хорошо сглаживает гистограмму.?