Изменение формы тела связано с перемещением его точек. Расстояние между положением точки до деформации и после деформации называют полным перемещением (Рис. 9.12).
Рис. 9.12
Составляющие вектора полного перемещения по осям обозначим через .
Рассмотрим два ребра параллелепипеда и . Для простоты на
рис. 9.13 показан отдельно.
Рис. 9.13
После деформации отрезок занял положение . Составляющие вектора перемещений точки отличаются от составляющих вектора перемещений точки на величины, соответствующие координате точки . Точка переместилась вдоль оси на величину , а по оси .
Аналогично и с ребром .
Относительное удлинение ребра по оси x равно
по аналогии .
Угол поворота в плоскости равен
.
Угол поворота отрезка АС в плоскости равен
.
Сумма углов и представляет собой изменение прямого угла ВАС, т.е. угла сдвига в плоскости
.
Аналогично можно записать выражение углов сдвига и в двух других плоскостях. Окончательно имеем связь между перемещениями и деформациями в точке:
(9.15)
|
|
Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, носит название деформированного состояния в точке (тензор).
(9.16)
Анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами аналогичными свойствам напряженного состояния.
Среди семейства осей, которые могут быть проведены через данную точку, существует три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации равны нулю. Эти оси называются главными осями деформаций, а линейные деформации в этой системе — главными деформациями.
Главные деформации определяются из кубического уравнения
, (9.17)
где
Из сопоставления с напряженным состоянием видно, что аналогом нормального напряжения здесь является линейная деформация, аналогом касательного напряжения половина угла сдвига.
Наряду с линейными и угловыми деформациями в сопротивлении материалов часто определяют объемную деформацию.