Элипсом называется множество всех точек плоскости, сумма растояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
М(х;у) F1M = r1
F2M = r2
r1 r2
F1(-c;0) 2c F2(c;0)
директриса элипса
Обозначим фокусы F1 и F2, расстояние между ними через 2С, а сумму расстояний от произвольной точки элипса до фокусов через 2А. Согласно определению │МF1│+
+│MF2│ = 2A
(3)
По сути это и есть уравнение эллипса.
Привидем уравнение (3) к более простому виду:
так как а>с, то а2-с2>0, значит:
(4)
Получим: b2x2 + a2y2 = a2b2, отсюда находим, что
(5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса. Форма эллипса зависит от отношения b к а. При b=а эллипс превращается в окружность. Уравнение эллипса принимает вид: х2 + у2 = r2
В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением с\а. Отношение с\а – половина расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом.
|
|
(6)
Причем 0<ε<1, так как 0<с<а; r1 = r2 называются локальными радиусами