Передаточные функции систем
Метод анализа структурной схемы
Заданы: структурная схема, входная и выходная величины системы. Ставиться задача определить передаточную функцию системы.
Для определения передаточной функции системы воспользуемся методом обратного движения. Метод обратного движения позволяет получить операторное уравнение, из которого и составляется передаточная функция. Заключается он в следующем.
Начинают с выходной величины системы. Двигаясь по схеме против направления передачи сигнала, связывают выходную величину, ближайшую передаточную функцию и ее входной сигнал операторным уравнением. Затем, продолжая двигаться против направления входного сигнала, достигают вторую передаточную функцию. Составляют операторное уравнение, в котором выходной сигнал будет равен произведению второй передаточной функции на следующий входной сигнал. Исключая промежуточную величину, связывают выходную величину системы и очередной входной сигнал. Повторяя процедуру, получают связь выходной величины системы с входной величиной системы.
|
|
Сумматоры дают два направления и по каждому надо двигаться против передачи сигнала.
В итоге получается операторное уравнение, которое содержит все передаточные функции, регулируемую величину и регулирующую величину. Из операторного уравнения находят передаточную функцию всей системы.
Применяя метод, соблюдают принцип суперпозиции, по которому два сигнала, проходящих по каналу, не взаимодействуют между собой. Их можно сложить и пропустить через звено, или сначала пропустить, а потом сложить - результат будет один и тот же. То есть
(Х 1 + Х 2) К = Х К = К Х 1 + К Х 2 = Y
Рассмотрим систему из трех последовательно соединенных звеньев с передаточными функциями К 1, К 2, К 3, рис. 4.1.
|
|
|
|
К 1 К 2 К 3
Рис. 4.1. Схема последовательного соединения звеньев
Входная величина системы Х 1, выходная Y. Передаточные функции К 1, К 2, К 3 считаются известными. Надо найти передаточную функцию системы W = Y / Х 1.
Применяя метод обратных движений, выразим Y, X3, X2 через К 3, К 2, К 1 и последовательно исключим промежуточные сигналы.
Y = K 3 X 3 = K 3 K 2 X 2 = K 3 K 2 K 1 X 1.
Следовательно,
W = K 1 K 2 K 3.
Нетрудно вывести для любого числа последовательно соединенных звеньев передаточную функцию системы
(4.1)
Если какие то группы звеньев соединены заранее, можно найти их передаточные функции Wi и затем соединить последовательно. Структура формулы для определения передаточной функции системы не измениться:
(4.2)