Исследование нелинейных уравнений парной регрессии

Если между экономическими показателями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. Среди нелинейных регрессий выделяют два класса: регрессии нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примерами регрессий нелинейных по объясняющим переменным могут служить следующие зависимости

§ полиномиальная:

;

§ гиперболическая:

К регрессиям, нелинейным по оцениваемым параметрам, относятся зависимости:

§ степенная

;

§ показательная

;

§ экспоненциальная

Параметры уравнений определяются методом наименьших квадратов (МНК).

Применение МНК для оценки параболы второго порядка приводит к следующей системе уравнений:

(1.13)

Для гиперболической зависимости система уравнений имеет вид:

(1.14)

Параметры степенной модели имеют вид:

(1.15)

Степенную функцию применяют в теории спроса и предложений. Это производственные функции, характеризующие связь между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения выпуска нового вида продукции и зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

Для экспоненциальной функции параметры и имеют вид:

(1.16)

Для показательной функции параметры и имеют вид:

(1.17)

Практическое применение показательной и экспоненциальной функций возможно, если результативный признак не имеет отрицательных значений. Поэтому, если исследуется, например, финансовый результат деятельности предприятия, то данные функции не могут быть использованы.

Для нелинейной регрессии тесноту связи факторного и результативного признаков оценивает индекс корреляции , который вычисляется по формуле:

(1.18)

Величина данного показателя находится в пределах 0 ≤≤ 1. Чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежным будет найденное уравнение регрессии.

Качество построенной модели можно оценить через индекс детерминации

(1.19)

Та из функций, для которой имеет наибольшее значение, является оптимальной и лучше описывает зависимость экономических показателей. Индекс детерминации можно сравнить с коэффициентом детерминации для линейной функции.