Лекция 11. Уравнение вида: Ах+Вy+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости в системе координат Oxyz

Уравнение вида: Ах+Вy+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости в системе координат Oxyz. Вектор N=(A,B,C) перпендикулярен плоскости, он называется нормальным вектором этой плоскости. Если известно, что плоскость проходит через некоторую точку M₀ (x₀,y₀,z₀,) то она может быть задана уравнением: A(x- x₀) +B(y- y₀) +C (z-z₀) =0

Линии уровня:

Линией уровня функции переменных z=f(x,y) называется плоская кривая, получающаяся при пересечении графика этой функции плоскостью, параллельной координатной плоскости Oxyz=С, где С - постоянная величина. Обычно линия уровня, соответствующие различным значениям постоянной величины С, проецируются на одну плоскость, например, на координатную плоскость Oxyz, тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией Z=f(x,y).Т.о. можно сказать, что линии уровня функции Z=f(x,y) – это семейство непересекающихся кривых на координатной плоскости Oxyz, описываемое уравнениями вида f(x,y)=С.

Частные производные:

Пусть функции двух переменных z= f(x,y) определены в некоторой окрестности точки М(x,y) евклидова пространства Е². Частная производная функции z= f(x,y) по аргументу х является обыкновенной производной функции одной переменной при фиксированном значении переменной y и обозначенной как

Аналогичном образом определяется частная производная функции f(x,y) по переменной y в точке М, обозначенной . Функция имеющая частные производные называются дифференцируемой.

Z=x²-2xy+2y² дифференцируем функцию z= f(x,y) сначала по х, пологая y фиксированной величиной, потом повторяем эту же процедуру, меняя роли х и y. Получаем

Пример 1:

Z=arctg xy,

Пример2:

U=ye ^yz+ ln (x²-2y+z),

Решение: Частные производные этой функции 3-х переменных вычисляются следующими формулами:

,

Пример 3:

Найти предел с показателем выпуска продукции Y при изменениях одного из факторов: затрат капитала К или величины трудовых ресурсов L- по функции Кобба - Дугласа.

Y=AK²L^1-α

Решение: Частные производные этой функции Y`<sub>k</sub>=AαK<sup>α-1</sup>L <sup>1-α,</sup> Y`_L=A(1-α)K^αL^-α

Очевидно, что в функции Кобба - Дугласа показатели степеней α, 1-α представляют собой коэффициенты эластичности Е_k(Y) и Е_L(Y)