Для основного кинетического уравнения существует богатое семейство выпуклых функций Ляпунова — монотонно меняющихся со временем функций распределения вероятностей. Пусть — выпуклая функция одного переменного. Для любого положительного распределения вероятностей () определим функцию Моримото :
.
Производная по времени, если удовлетворяет основному кинетическому уравнению, есть
.
Последнее неравенство справедливо из-за выпуклости .
Примеры функций Моримото
- , ;
эта функция — расстояние от текущего распределения вероятностей до равновесного в -норме. Сдвиг по времени является сжатием пространства вероятностных распределений в этой норме. (О свойствах сжатий см. статью Теорема Банаха о неподвижной точке.)
- , ;
эта функция — (минус) энтропия Кульбака (см. Расстояние Кульбака — Лейблера). В физике она соответствует свободной энергии, деленной на (где — постоянная Больцмана, — абсолютная температура):
если (распределение Больцмана), то
.
- , ;
эта функция — аналог свободной энергии для энтропии Бурга, широко используемой в обработке сигналов:
|
|
- , ;
это квадратичное приближение для (минус) энтропии Кульбака вблизи точки равновесия. С точностью до постоянного во времени слагаемого эта функция совпадает с (минус) энтропией Фишера, которую даёт следующий выбор,
- , ;
это (минус) энтропия Фишера.
- , ;
это один из аналогов свободной энергии для энтропии Тсаллиса. Энтропия Тсаллиса (Tsallis entropy)
служит основой для статистической физики неэкстенсивных величин. При она стремится к классической энтропии Больцмана — Гиббса — Шеннона, а соответствующая функция Моримото — к (минус) энтропии Кульбака.