Теорема (признак сравнения)

Признаки сходимости несобственных интегралов.

Несобственные интегралы второго рода(от неограниченных функций).

Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку).

Несобственные интегралы.

Волгодонск

До сих пор мы рассматривали, как в предположении, что промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция непрерывна (или кусочно-непрерывна). Обобщим понятие интеграла на случаи бесконечных промежутков интегрирования, а также на случаи, когда у функции на промежутке интегрирования существуют точки разрыва второго рода.

Определение: Пусть функция непрерывна на промежутке, тогда очевидно, что при любом имеет смысл интеграл. Будем расширять промежуток, увеличивая. Тогда, если существует предел:

, то этот предел называется несобственным интегралом от функции по бесконечному промежутку и обозначается.

Отметим, что если указанный предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (говорят, что он сходится). В противном случае (если предел бесконечен или не существует) говорят, что расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку.

Определение: Несобственный интеграл определяется как следующая сумма несобственных интегралов:

= +.

Отметим, что легко показать, что так определенный интеграл не зависит от выбора точки. Этот интеграл называется сходящимся, если сходящимися являются интегралы и, в противном случае он называется расходящимся.

Примеры:

1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

а) = = = =

= = =

б) = = = = (интеграл расходится)

в) = = = Поскольку последний предел не существует, то интеграл расходится.

Предположим теперь, что функция непрерывна на, за исключением точки, в которой она терпит разрыв второго рода, и рассмотрим три случая:

а).

Возьмем произвольное, но достаточно малое (чтобы выполнялось неравенство) положительное и положим, по определению, = Если указанный предел существует, то называется несобственным интегралом второго рода по промежутку.

б).

Как и в предыдущем случае определим несобственный интеграл, положив:

=.

Отметим, что вся терминология, связанная с определением сходимости и расходимости несобственных интегралов второго рода полностью переносится с соответствующих определений, данных для интегралов первого рода.

Наконец, третий случай:

в)

В этом случае полагаем:

= +

При этом будем считать, что последний несобственный интеграл сходится, если сходятся слагаемые, определяющие этот интеграл. Ясно, что,

= +.

Пример.

= = = =

=

Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию для, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла, а из расходимости следует расходимость.

Доказательство. Предположим, что интеграл сходится и равен, тогда для любого будет выполняться неравенство: и, следовательно, будут выполняться неравенства:. Если теперь на интеграл смотреть как на функцию от, то эта функция будет монотонно возрастающей на бесконечном промежутке и ограниченной на этом промежутке. Следовательно, она имеет конечный предел:, то есть интеграл сходится.

Если теперь интеграл расходится, то возрастающая функция стремится к при. Но тогда, тем более, будет стремиться к и функция, так как. То есть интеграл будет расходиться.

Достаточно просто доказываются и следующие две теоремы (два критерия сходимости):