2014-02-02
531
Схема полного исследования функции.
1. Определить естественную область D(y) определения функции.
2. Исследовать на четность и нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти асимптоты.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.
6. Найти интервалы выпуклости графика, точки перегиба.
7. Построить график функции.
Пример:
Провести полное исследование и построить график функции 
.
1. Область определения функции D(y): x¹1.
2. Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с 0x: y=0 Þ 
Þ x=0 Þ точка (0, 0) – точка пересечения с осями.
4. x=1 – точка разрыва.
Вертикальная асимптота:
— вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота: 
.
=
;
=
=
=1 Þ 
.
— наклонная асимптота.
5. 
=
=
.
Критические точки: 
, т.е. числитель равен нулю Þ 
, 
;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ 
.
| x | (-∞;0) | x=0 | (0;1) | x=1 | (1;2) | x=2 | (2;+∞) |
| + | − | не существует | − | + | ||
| возрастает | max y(0)=0 | убывает | не существует | убывает | min y(2)=4 | возрастает |
6.
.
Критические точки второго рода:
, т.е. числитель равен нулю Þ точек нет;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ Þ точек перегиба нет, т.к. x=1ÏD(y).
| x | (-∞;1) | x=1 | (1;+∞) |
|
| − | не существует | + |
|
| вогнута | не существует | выпукла |
7. График функции:
Вопросы для самоконтроля.
1. Что такое асимптота?
2. Какая асимптота называется вертикальной?
3. Написать уравнение наклонной асимптоты.
4. Когда наклонная асимптота называется горизонтальной?
Задачи для самоконтроля.
1. Провести полное исследование функции и построить ее график:
а) 
; б) 
.
1. Провести полное исследование и построить график функции:
а) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осью OY: x=0 Þ y=0. Точка (0;0).
Точки пересечения с осью OX: y=0 Þ 
,
, 
(D<0).
Þ точка (0;0) – точка пересечения с осями.
4. Асимптот нет, т.к. D(y)=R.
5. 
.
Критические точки: . 
, 
Þ , 
.
| x | (-∞;2) | x=2 | (2;3) | x=3 | (3;+∞) |
|
| + | − | + | ||
|
| возрастает | max y(2)=28 | убывает | min y(3)=27 | возрастает |
6. 
.
Критические точки второго рода: 
. 
, 
.
| x | (-∞;2,5) | x=2,5 | (2,5;+∞) |
|
| − | + | |
|
| вогнута | y(2,5)=27,5 | выпукла |
7. График функции.
б) 
.
1. Область определения функции D(y): x¹0.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осью OY: x¹0 Þ ось OY не пересекает.
Точки пересечения с осью OX: y=0 Þ числитель равен нулю: 
, 
. Þ Точка 
.
4. x=0 – точка разрыва.
Вертикальная асимптота:
— вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота: 
.
;
. Þ 
.
— горизонтальная асимптота.
5. 
;
.
Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ ;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .
| x | (-∞;0) | x=0 | (0;1) | x=1 | (1;+∞) |
| y´ | + | не существует | + | − | |
| y | возрастает | не существует | возрастает | max y(1)=1 | убывает |
6. 
;
.
Критические точки второго рода:
, т.е. числитель равен нулю Þ 
,
;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .
| x | (-∞;0) | x=0 | 
|
| 
|
| y´´ | + | не существует | − | + | |
| y | выпукла | не существует | вогнута | точка перегиба
| выпукла |
7. График функции.
