Как складываются и умножаются понятия

Помимо ограничения, обобщения, определения и деления понятий, существуют еще две логические операции — сложение и умножение по­нятий.

Сложение понятий — это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой все элементы объемов исход­ных понятий. Например, при сложении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят как все школьники, так и все спортсмены. Результат сложения понятий, часто называемый логической суммой, на схеме Эйлера изображается штриховкой

Рис..16 Рис.17

Рис. 18

Умножение понятий — это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой только совпадающие элемен­ты объемов исходных понятий. Например, при умножении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого вхо­дят только школьники, являющиеся спортсменами, и спортсмены, яв­ляющиеся школьниками. Результат умножения понятий, часто назы­ваемый логическим произведением, на схеме Эйлера изображается штриховкой (так же, как и результат сложения) (рис. 17).

Мы привели примеры сложения и умножения понятий, которые находятся между собой в отношении пересечения {школьник и спортсмен). В других случаях отношений между понятиями результаты сложения и умножения (логическая сумма и логическое произведение), разумеет­ся, будут иными. Читатель без труда сможет определить их для всех слу­чаев отношений между понятиями с помощью круговых схем. Так, если два понятия находятся в отношении подчинения, например, карась и рыба, то результатом их сложения является родовое понятие рыба (т. е. логической суммой понятий карась и рыба будет множество всех рыб) (рис. 18).

Результатом умножения понятий карась и рыба, находящихся в отно­шении родо-видового подчинения, будет видовое понятие карась (т. е. логическим произведением понятий карась и рыба является множество всех карасей) (рис. 19).

Рис. 19

Так же, если два понятия находятся в отношении соподчинения, напри­мер, береза и сосна, то результат их сложения — это два объема данных понятий (т.е. логической суммой понятий береза и сосна будет как мно­жество всех берез, так и множество всех сосен) (рис. 20).

Рис. 20

Результатом умножения соподчиненных понятий береза и сосна явля­ется нулевое понятие (т. е. логическое произведение понятий береза и сосна представляет собой пустое множество — не существует ни одной березы, которая могла бы быть сосной, и наоборот) (рис. 21).

Рис.21

Точно так же устанавливаются результаты сложения и умножения объемов двух понятий, которые находятся в отношениях равнозначно­сти, противоположности и противоречия. Так, например, нетрудно до­гадаться, что если два понятия находятся в отношении равнозначности, то результат их сложения будет полностью совпадать с результатом их умножения (логическая сумма равнозначных понятий равна их логи­ческому произведению). Так же понятно, что результатом умножения противоположных и противоречащих понятий является нулевое поня­тие и т. п.

Как правило, в естественном языке (на котором мы общаемся), ре­зультат сложения понятий выражается союзом или, а умножения — союзом и. результате сложения понятий школьник и спортсмен обра­зуется новое понятие, в объем которого входит любой человек, если он является или школьником, или спортсменом, а в результате умноже­ния этих понятий в объем нового понятия входит любой человек, если он является и школьником, и спортсменом одновременно.

Относительно употребления союзов или и и в естественном языке в качестве выражения результатов логических операций сложения и ум­ножения понятий удачный пример приводит в своем учебнике по логи­ке известный отечественный автор В. И. Свинцов (Логика. Элементар­ный курс для гуманитарных специальностей. М.: Скорина, 1998. С. 60-61), отрывок из которого приводится ниже. «Что касается союзов «или» и «и», то нужно отметить их многозначность, способную в известных ситуациях создавать достаточно неопределенное представление о харак­тере связи между некоторыми исходными понятиями. Удачна ли, на­пример, следующая формулировка одного из правил пользования город­ским транспортом: «Безбилетный проезд и бесплатный провоз багажа наказывается штрафом»? Представим себе два подмножества, которые могут быть выделены во множестве пассажиров-нарушителей. В одно из них войдут пассажиры, не взявшие билета, в другое — не оплатив­шие провоз багажа. Если союз «и» рассматривать как показатель логи­ческого умножения, то придется признать, что штраф должен быть на­ложен только на тех пассажиров, которые совершили сразу два проступ­ка (но не какой-то один из них). Разумеется, житейский смысл ситуации, предусмотренной данным правилом, настолько ясен, что всякие разно­чтения этой формулировки, вероятно, были бы признаны казуистикой, но все же использование союза «или» здесь следует признать предпоч­тительным».

Здесь следует отметить неоднозначность разделительного союза или, который может употребляться в нестрогом (неисключающем) значении и в строгом (исключающем). Например, в высказывании: Можно изу­чать английский язык или немецкий союз или употребляется в нестро­гом значении, так как можно изучать и тот, и другой язык одновремен­но, одно другое не исключает. В данном случае разделительный союз или очень близок к соединительному союзу и. С другой стороны, в высказы­вании: Он родился в 1987 году или в 1989 году союз или употребляется в строгом значении, так как если он родился в 1987 году, то — никак не в 1989 году, и наоборот, два варианта здесь друг друга исключают. (О раз­личных значениях союза или мы еще будем говорить далее.)

Если в рас­смотренное выше правило пользования городским транспортом поста­вить союз или вместо союза и, как предлагает В. И. Свинцов, то полу­чится следующее: «Безбилетный проезд или бесплатный провоз багажа наказываются штрафом». В данном случае союз или, являющийся по­казателем логического сложения, надо воспринимать в его нестрогом, неисключающем значении. Но ведь в указанной фразе этот союз можно истолковать и в строгом, исключающем значении. Тогда получится, что штраф накладывается или только на тех пассажиров, которые не опла­тили проезд, или же только на тех, которые бесплатно провозят багаж. Правда, в этом случае не совсем понятно, кто же наказывается штра­фом — те или другие. Поразмыслив, можно прийти к выводу, что штра­фу подвергаются то те, то другие — на усмотрение контролера и в зави­симости от ситуации.

В силу всего сказанного надо отметить, что употребление союза или всякий раз нуждается в комментарии относительно того, в строгом или нестрогом значении он используется. Понятно, что без этого коммента­рия вполне возможны разночтения, которые нередко приводят к различ­ным и существенным недоразумениям.