Основные методы интегрирования

Таблица интегралов

Прежде чем приступить к изложению методом интегрирования, приведём таблицу интегралов от простейших функций.

Непосредственно из определения 2 и таблицы производных вытекает таблица интегралов. (Справедливость написанных в ней равенства легко проверить дифференцированием, т. е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции.)

1.

2.

3.

4. (Здесь и в последующих формулах под С понимается произвольная постоянная.)

5.

6. .

7.

8.

9.

10.

11. .

12.

13.

14.

15.

16.

1. Непосредственное интегрирование (метод разложения).

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подинтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Если подынтегральную функцию можно разложить на функции, интегралы от которых явля­ются табличными, тогда легко найти первообразные от каждого интеграла

Пример 1. Найти .

Пример 2. Найти .

2. Метод замены переменной

Этот метод называют также методом подстановки. Он является одним из наиболее эффектных и распространенных примеров интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисления интеграла.

Пусть требуется найти интеграл

первообразная которого неизвестна, но известно что онасуществует. В этом случае можно попытаться сделать такую замену переменной, чтобы интеграл стая табличным. Для обоснования такого подхода кинтегрированию рассмотрим теорему.

Пример 1. Найти .

Пример 2. Найти интеграл .

Пример 3. Найти интеграл

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.