Определение главных напряжений и угла наклона главных площадок
Задача заключается в том, чтобы по известным значениям нормальных и касательных напряжений на гранях элементарного параллелепипеда определить значения главных напряжений и угол наклона главной площадки. Рассмотрим случай двухосного напряженного состояния (рис. 3.10).
Рисунок 3.10
Для заданного напряженного состояния строим круг Мора (рис. 3.11):
Рисунок 3.11
Радиус круга Мора можно записать:
.
Следовательно, главные напряжения:
.
Угол наклона главной площадки определяется соотношением:
Если заданы шесть компонентов напряженного состояния, а именно σx, σy, σz, и τxy, τxz, τyz в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения вообще в любой площадке, проходящей через данную точку. Из напряженного объема конструкции (рис. 3.4а) еще раз выделим в окрестности точки A элементарный объем, но уже не в виде параллелепипеда, как было сделано ранее, а в виде четырехгранника (рис. 3.12а).
|
|
Рисунок 3.12
Три грани выделенного элемента совпадают с координатными плоскостями системы x, y, z. Четвертая грань образована секущей плоскостью общего положения. Ее ориентацию в пространстве будем определять направляющими косинусами нормали n, т. е. величинами:
l = cos α, m = cos β, k = cos γ.
Элементарный четырехгранник обладает теми же свойствами, что и рассмотренный выше параллелепипед. При уменьшении размеров он стягивается в точку A, и в пределе все его грани проходят через эту точку. Поэтому напряжения на гранях элемента рассматривают как напряжения в исследуемой точке, но в площадках различным образом ориентированных. На рисунке 3.12б пунктиром показаны составляющие напряжений на невидимых гранях. Вектор полного напряжения на площадке общего положения BCD спроектируем на оси x, y, и z. Обозначим эти проекции через X, Y и Z соответственно. Если эти три величины найдены, то по ним, очевидно, могут быть найдены нормальная и касательные составляющие на площадке общего положения.
Площадь треугольника BCD обозначим через F, треугольника ACD через Fx, ABD через Fy и, наконец, треугольника ABC через Fz. Очевидно,
Fx = F l, Fy = F m, Fz = F k (1)
где l, m и k — направляющие косинусы нормали n.
Проектируя все силы, действующие на элемент, последовательно на оси х, у и z, получим:
Σx = X F- σx Fx + τyx Fy + τzx Fz = 0
Σy = Y F– σy Fy + τxy Fx+ τzy Fz = 0
Σx = Z F– σz Fz + τxz Fx + τyz Fy = 0,
откуда в соответствии с соотношениями (1):
X = σx l - τyx m - τzx k
Y = σy m - τxy l - τzy k (2)
Z = σz k- τxz l - τyz m
Таким образом, действительно для любой площадки, определяемой направляющими косинусами l, m и n, проекции X, Y и Z выражаются через шесть исходных компонентов σx, σy, σz, и τxy, τxz, τyz. Иными словами, напряженное состояние в точке определяется шестью компонентами. При помощи формул (2) легко определяется вектор полного напряжения p на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку:
|
|
p2 = X2 + Y2 + Z2 (3)
Таким образом, напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное, чем те, которыми мы оперировали до сих пор. Выразим через X, Y, Z нормальное напряжение σn в наклонной площадке:
σn = X l + Y m + Z k
После подстановки выражений (2) и преобразований, получим:
σn = σx l2 + σy m2 σk k2 - 2τxy l m - 2τxz k l - 2τyz m k
Касательное напряжение τn на наклонной площадке:
τn2 = p2 - σn2, где (4)
Положим, что оси x, y, z главные и σx = σ1, σy = σ2, σz = σ3, τxy = τxz = τyz = 0, тогда выражения (2) примут вид:
X = σ1 l, Y = σ2 m, Z = σ3 k.
Полное напряжение согласно выражению (3):
p2 = X2 + Y2 + Z2 = σ12 l2 + σ22 m2 + σ32 k2
Нормальное напряжение на наклонной площадке:
σn = X l + Y m + Z n = σ1 l2 + σ2 m2 +σ3 k2
Подставляя выражения p2 и σn в соотношение (4), получим выражение касательного напряжения τn на наклонной площадке:
τn2 = (σ1 - σ2)2 l2m2 + (σ1 - σ3)2 l2k2+(σ2 - σ3)2 k2m2
Если нормаль n совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих косинусов принимает значение равное единице, а два других равны нулю, и тогда τn = 0.
Определим напряжения на октоэдрической площадке σoct, τoct, т.е. площадке равнонаклоненной к главным площадкам. Для таких площадок l2 = m2 = k2 = 1/3, и тогда получим:
σoct = 1/3 (σ1 + σ2 + σ3)
τoct =
Пример 3.1
Для заданного напряженного состояния, которое показано на рисунке 3.13, определить главные напряжения и угол наклона главных площадок. Построить круг Мора.
Решение.
1. Так как на площадке yz отсутствуют касательные напряжения, она является главной, а напряжение σx =50 - главное напряжение.
Рисунок 3.13
2. Вычислим величины главных напряжений на двух других площадках:
Выстроим главные напряжения по возрастающей, получим:
σ1 = 94,7; σ2 = 50; σ3 = 5,3.
3. Определим угол поворота главных площадок.
, откуда
α =31,7°
4. Изобразим элемент повернутым так, чтобы все его грани стали главными (рис. 3.14б).
Рисунок 3.14
5. Построим диаграмму напряжений Мора (рис. 3.15).
Рисунок 3.15