Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения х:
.
Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.
Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается для среднего значения :
и показывает, на сколько % изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.
Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х 0:
и показывает, на сколько % изменится у относительно уровня у (х 0) при увеличении х на 1 % от уровня х 0.
В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведем в таблице.
Вид функции y(x) | Точечный коэффициент Эхо | Средний коэффициент |
Линейная, | Эхо = | |
Парабола, | Эхо = | |
Гипербола, | Эхо = | |
Степенная, | Эхо = b | |
Показательная, | Эхо = |
Только для степенных функций коэффициент эластичности представляет собой постоянную независимую от х величину. Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1 %. Так, если зависимость спроса у от цен х характеризуется уравнением вида: , то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,5 %.
|
|
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Например, бессмысленно определять, на сколько % изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего R2), не может быть экономически интерпретирована.
Пример 1. Анализируется прибыль предприятия Y в зависимости от расходов на рекламу Х. По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные:
Y | |||||||||
X | 8,8 | 1,0 | 1,8 | 2,5 | 4,0 | 5,7 | 7,5 | 8,3 | 8,8 |
а) постройте корреляционное поле и выдвиньте предположение о формуле зависимости между рассматриваемыми показателями;
б) оцените по МНК коэффициенты линейной регрессии и оцените качество построенной регрессии;
|
|
в) оцените по МНК коэффициенты квадратичной регрессии и оцените её качество.
Какую из моделей вы предпочтете?
Решение
1) Построим поле корреляции, используя «Мастер диаграмм»
2) Построим уравнение линейной регрессии .
ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
Регрессионная статистика | |||||||
Множественный R | 0,751709 | ||||||
R-квадрат | 0,565066 | ||||||
Нормированный R-квадрат | 0,502933 | ||||||
Стандартная ошибка | 4,742604 | ||||||
Наблюдения | |||||||
Дисперсионный анализ | |||||||
df | SS | MS | F | Значимость F | |||
Регрессия | 204,554 | 204,554 | 9,094402 | 0,019505 | |||
Остаток | 157,446 | 22,49229 | |||||
Итого | |||||||
Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | Нижние 95,0% | |
Y-пересечение | 8,859876 | 2,846918 | 3,112094 | 0,017031 | 2,127985 | 15,59177 | 2,127985 |
x | 1,590622 | 0,527448 | 3,015693 | 0,019505 | 0,343405 | 2,837839 | 0,343405 |
Средняя ошибка аппроксимации составит 30,9 % > 8-10 %.
3) Построим уравнение квадратичной зависимости
ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
Регрессионная статистика | |||||||
Множественный R | 0,992323 | ||||||
R-квадрат | 0,984706 | ||||||
Нормированный R-квадрат | 0,979607 | ||||||
Стандартная ошибка | 0,960608 | ||||||
Наблюдения | |||||||
Дисперсионный анализ | |||||||
df | SS | MS | F | Значимость F | |||
Регрессия | 356,4634 | 178,2317 | 193,149 | 3,58E-06 | |||
Остаток | 5,536609 | 0,922768 | |||||
Итого | |||||||
Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | Нижние 95,0% | |
Y-пересечение | -0,98655 | 0,959919 | -1,02774 | 0,343709 | -3,33538 | 1,362291 | -3,33538 |
x | 8,470654 | 0,546761 | 15,49244 | 4,58E-06 | 7,132779 | 9,808529 | 7,132779 |
x^2 | -0,7221 | 0,05628 | -12,8306 | 1,38E-05 | -0,85982 | -0,58439 | -0,85982 |
Средняя ошибка аппроксимации составит 4,5 % < 8-10 %.
4) Проведём оценку существенности различий R2, вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t – критерий Стьюдента:
,
где :
, , , , .
Т.к. tнабл < tкр, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции несущественны и, следовательно, возможно применение линейной регрессии.
Вывод: лучшим уравнением по совокупности показателей является квадратичная регрессия.
Замечание. Мастер диаграмм. Тип – точечная. Диаграмма – добавить линию тренда…
Пример 2. Анализируется индекс потребительских цен Y по объему денежной массы Х на основании данных с 1981 по 1997 год. Необходимо:
1) построить корреляционное поле;
2) построить регрессии: У на Х; Y на lnX; lnY на Х; lnY на lnX;
3) проинтерпретировать коэффициенты регрессии для каждой из моделей;
4) по каждой из моделей определить эластичность Y по Х;
5) определить целесообразность выбора предложенных моделей.
Решение
1) построим корреляционное поле
2) строим уравнения всех регрессий:
ВЫВОД ИТОГОВ | ||||||
Регрессионная статистика | ||||||
Множественный R | 0,976836 | |||||
R-квадрат | 0,954209 | |||||
Нормированный R-квадрат | 0,951157 | |||||
Стандартная ошибка | 4,313545 | |||||
Наблюдения | ||||||
Дисперсионный анализ | ||||||
df | SS | MS | F | Значимость F | ||
Регрессия | 5816,018 | 5816,018 | 312,5771 | 1,87E-11 | ||
Остаток | 279,1 | 18,60667 | ||||
Итого | 6095,118 | |||||
Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
Y-пересечение | 38,01618 | 3,464674 | 10,97251 | 1,45E-08 | 30,6314 | 45,40095 |
x | 0,265648 | 0,015025 | 17,67985 | 1,87E-11 | 0,233622 | 0,297674 |
ВЫВОД ИТОГОВ | ||||||
Регрессионная статистика | ||||||
Множественный R | 0,976831 | |||||
R-квадрат | 0,954198 | |||||
Нормированный R-квадрат | 0,951144 | |||||
Стандартная ошибка | 4,314076 | |||||
Наблюдения | ||||||
Дисперсионный анализ | ||||||
df | SS | MS | F | Значимость F | ||
Регрессия | 5815,949 | 5815,948851 | 312,4964 | 1,87E-11 | ||
Остаток | 279,1688 | 18,61125308 | ||||
Итого | 6095,118 | |||||
Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
Y-пересечение | -192,679 | 16,38698 | -11,75805947 | 5,71E-09 | -227,607 | -157,751 |
lnx | 54,16123 | 3,06384 | 17,67756659 | 1,87E-11 | 47,63081 | 60,69165 |
ВЫВОД ИТОГОВ | ||||||
Регрессионная статистика | ||||||
Множественный R | 0,972099 | |||||
R-квадрат | 0,944976 | |||||
Нормированный R-квадрат | 0,941308 | |||||
Стандартная ошибка | 0,050994 | |||||
Наблюдения | ||||||
Дисперсионный анализ | ||||||
df | SS | MS | F | Значимость F | ||
Регрессия | 0,669884 | 0,669884 | 257,6084 | 7,44E-11 | ||
Остаток | 0,039006 | 0,0026 | ||||
Итого | 0,70889 | |||||
Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
Y-пересечение | 3,921623 | 0,040959 | 95,74539 | 2,54E-22 | 3,834321 | 4,008924 |
x | 0,002851 | 0,000178 | 16,05018 | 7,44E-11 | 0,002472 | 0,00323 |
ВЫВОД ИТОГОВ | ||||||
Регрессионная статистика | ||||||
Множественный R | 0,983605 | |||||
R-квадрат | 0,967479 | |||||
Нормированный R-квадрат | 0,965311 | |||||
Стандартная ошибка | 0,039204 | |||||
Наблюдения | ||||||
Дисперсионный анализ | ||||||
df | SS | MS | F | Значимость F | ||
Регрессия | 0,685836 | 0,685836444 | 446,2417 | 1,43E-12 | ||
Остаток | 0,023054 | 0,001536917 | ||||
Итого | 0,70889 | |||||
Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
Y-пересечение | 1,409022 | 0,148914 | 9,46196281 | 1,03E-07 | 1,091618 | 1,726425 |
lnx | 0,588151 | 0,027842 | 21,1244329 | 1,43E-12 | 0,528806 | 0,647495 |
3) Составим сводную таблицу
|
|
|
|
R^2 | F | Значимость F | ta | tb | A | Э | |
Y на X | 0,954209 | 312,5771 | 1,87E-11 | 10,97251 | 17,67985 | 3,40% | 0,605689 |
Y на lnX | 0,954198 | 446,2417 | 1,87E-11 | -11,7581 | 17,67757 | 3,50% | 0,544866 |
lnY на X | 0,944976 | 257,6084 | 7,44E-11 | 95,74539 | 16,05018 | 0,04% | 0,626711 |
lnY на lnX | 0,967479 | 446,2417 | 1,43E-12 | 9,461963 | 21,12443 | 0,03% | 0,588151 |