Используя формулу для числа сочетаний без повторений, можно доказать следующую теорему.
Теорема. , , .
Доказательство. . .
.
Пример. Найти все биномиальные коэффициенты для .
Решение запишем в виде треугольника Паскаля – бесконечной таблицы, имеющей треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы, так как . Каждое внутреннее число равно сумме двух расположенных над ним чисел: . Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси: .
Биномиальный коэффициент лежит на пересечении строки n и столбца m.
m n | |||||||||||
|
|