Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремиться к нулю.
Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой точки, когда , и наклонными, дающими представление о поведении функции при .
Если особая точка, уравнение вертикальной асимптоты .
Теорема. Кривая имеет наклонную асимптоту при , уравнение которой , если принимают конечное значение и .
Доказательство. Из определения асимптоты следует , где бесконечно малая при , то есть . Остается определить параметры уравнения асимптоты. Для этого вычислим , . Итак, если оба предела существуют и конечны, параметры прямой и определены, причем точки этой прямой бесконечно сближаются с точками кривой при .
Пример. . Ясно, что - уравнение вертикальной асимптоты.
Определим ,
.
Наклонная асимптота при имеет уравнение .
Исследование функции, построение ее графика
Алгоритм исследования
|
|
I. Исследование самой функции. Необходимо установить
1) Область определения функции, ее особые точки, вертикальные асимптоты.
2) Точки пересечения кривой с осями координат
3) Функция четная, нечетная или общего вида
4) Функция периодическая или не периодическая
II. Исследование производной функции. Необходимо определить
1) Точки максимума и минимума функции
2) Интервалы возрастания и убывания функции
III. Исследование второй производной
1) Точки перегиба
2) Интервалы выпуклости и вогнутости функции
IV. Исследование поведения функции при . Наклонные асимптоты.
В качестве примера рассмотрим функцию
I.
1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть . Следовательно, у этой кривой нет особых точек, нет и вертикальных асимптот.
2. Кривая пересекает оси координат в начале координат. Следовательно, первая характерная точка графика .
3. Кривая нечетная: , следовательно, она симметричная относительно начала координат.
4. Функция непериодическая.
II. 1. Определим первую производную , приравниваем ее нулю, откуда получаем еще две характерные (критические) точки , , координаты этих точек на плоскости , . Рассмотрим первую из этих точек , левее ее производная , правее , следовательно, это точка минимума функции. Левее точки производная правее она отрицательна, значит это точка максимума функции.
2. Знак первой производной определяется выражением , следовательно, она положительна на интервале , в остальных областях она отрицательна. Итак, функция убывает на интервале , возрастает на интервале , затем опять убывает на .
III. 1. Определяем вторую производную функции:
|
|
.
Приравниваем производную нулю и получаем еще три характерные точки функции, одна из которых уже известна. Две другие и . На координатной плоскости они имеют координаты , . Знак второй производной определяется ее числителем. Левее точки она отрицательна, правее . Следовательно, это точка перегиба. Левее точки имеем , правее ., еще одна точка перегиба. Левее точки получаем , правее , третья точка перегиба.
2. Поскольку других точек, в которых вторая производная меняет знак у функции нет, можно утверждать, что на интервале кривая выпуклая, на интервале кривая вогнутая, на интервале кривая опять выпуклая и, наконец, на интервале - вогнутая.
IY. Определяем наклонные асимптоты кривой, уравнение асимптоты , причем
,
,
Поскольку уравнение асимптоты , асимптотой функции является ось .
В итоге график функции имеет вид
На рисунке отчетливо наблюдаются точки максимума и минимума функции и три точки перегиба. Видим также, что кривая «прижимается» к оси при , стремящемся как к плюс, так и к минус бесконечности, следовательно, асимптота единая.
Рассмотрим пример при другом оформлении результата. Пусть . Область существования данной функции – вся числовая ось, кроме точки . Функция непериодическая (нет тригонометрических функций), общего вида (не четная, не нечетная).
Определим вначале все характерные точки графика, то есть точки пересечения с осями координат, особые точки, точки максимума и минимума, точки перегиба. Для этого вычислим первую и вторую производные
,
.
Исследуя функцию и ее производные, устанавливаем, что имеется одна особая точка и еще три характерных точки , , .
Таблица
-2 | -1 | ||||||||
<0 | -8 | <0 | -9 | <0 | >0 | н.с. | >0 | ||
<0 | <0 | >0 | >0 | н.с. | <0 | ||||
<0 | >0 | >0 | >0 | >0 | н.с. | >0 | |||
Примеч. | , убыв., выпукл. | Т. Пер. | , убыв., вогн. | Min | , возр., вогн. | , возр., вогн. | Н.с. | , убыв., вогн. |
В таблице собрана вся информация о функции, примечания позволяют проще построить ее график.
Определим наклонную асимптоту кривой , причем
,
.