Исследование разностной схемы на разрешимость

Лемма (Принцип максимума для разностного оператора Лапласа). Если ,

то сеточная функция принимает наибольшее (наименьшее) значение в граничных узлах сетки .

Доказательство. Проведем доказательство первого утверждения. Допустим противное. Тогда существует внутренний узел , такой, что . Для этого узла имеем

Получили противоречие. Аналогично доказывается второе утверждение.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

(12)

Поскольку для решения однородной системы (11) во внутренних узлах сетки выполняются неравенства и в граничных узлах решение принимает нулевые значения, то по доказанной лемме однородная система (11) имеет только

тривиальное решение. Отсюда следует, что разностная схема (8), (9) имеет единственное pешение пpи любых пpавых частях.

При изложении материала за основу взяты

1) страницы 526-530 учебного пособия: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

2) страницы 175-184 учебного пособия: Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы:, т.2.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.

3) страницы 261,294-298 учебного пособия: Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 1989.