Непрерывная случайная величина

Определение. Случайная величина x называется непрерывной (абсолютно непрерывной), если существует такая функция p(t), что имеет место следующее равенство

Функция p(t) называется плотностью распределения случайной величины x и обладает следующими свойствами.

1). р(t) ³ 0 для любого t Î Â ¹.

Из определения видно, что p(t) = F' (t) в точках непрерывности р(t). Поскольку F— неубывающая функция, то свойство 1 становится очевидным.

2).

Поскольку

то согласно свойству 3 функции распределения (см. 2.1.3) получим требуемое.

3). P (x ₁£ x < x ₂) = p(t) dt.

Так как P (x ₁£ x < x ₂) = F (x ₂) — F (x ₁), то получаем требуемое из определения 2.

Свойствам 2 и 3 можно дать геометрическую интерпретацию. Вероятность попадания случайной величины x в интервал [ x _1, x ₂], согласно свойству 3, равна площади криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке

Согласно свойства 2, площадь фигуры, заключенной под всей кривой плотности распределения, равна единице.

Замечание. Для непрерывной случайной величины x имеет место

где A - произвольное множество из Â ¹.

Приведем еще одно важное свойство непрерывной случайной величины: для любого a Î Â ¹ имеет место равенство

P (x=a) = F (a+ 0) -F (a).

Докажемэто. Пусть A_n ={ a £ x < a + 1 /n }. Для любого п (по лемме непрерывности получаем)

A_{n+ 1}Ì A_n и A = {Ç _n { a £ x < a + 1 /n }} = { x = а }.

Следовательно, для непрерывной случайной величины x: Р( x = а) = 0, т.е. вероятность попадания в любую заданную точку для непрерывной случайной величины равна нулю, поскольку в этом случае F (a + 0) = F (a).