Способы организации единичного жребия. Основным элементом, из совокупности которых складывается монте-карловская модель, является одна случайная реализация моделируемого явления

Основным элементом, из совокупности которых складывается монте-карловская модель, является одна случайная реализация моделируемого явления, например: один «обстрел» цели», один «день работы» транспорта, одна «эпидемия» и т.п.

Реализация представляет собой как бы один случай осуществления моделируемого случайного явления (процесса) со всеми присущими ему случайностями. Она разыгрывается с помощью специально разработанной процедуры или алгоритма, в котором важную роль играет собственно «розыгрыш» или бросание жребия». Каждый раз, когда в ход моделируемого процесса вмешивается случайность, её влияние учитывается не расчетом, а бросанием жребия.

Предположим, что в ходе моделируемого процесса наступил момент, когда его дальнейшее развитие (а значит и результат) зависит от того, появилось ли на данном этапе событие А или не появилось (например: произошло ли попадание в цель, обнаружен ли некоторый объект, исправна ли некоторая аппаратура и т.д). Тогда нужно «бросанием жребия» решить вопрос: появилось событие А или не появилось? Для этого нужно привести в действие некоторый случайный механизм розыгрыша (бросить игральную кость, несколько монет или выбрать число из таблицы случайных чисел) и условиться о том, какой результат жребия означает появление, а какой – непоявление события А). Ниже мы увидим, что розыгрыш всегда можно организовать так, чтобы событие А имело любую наперед заданную вероятность. Кроме событий, появляющихся случайным образом, на ход и исход операции могут так же влиять разные случайные величины (время, координаты и т.д.). С помощью жребия можно разыграть значения любой случайной величины или совокупность значений нескольких случайных величин. Условимся называть единичным жребием любой элементарный опыт, в котором решается один из вопросов:

1. Произошло или не произошло событие А?

2. Какое из возможных событий А₁,А₂,…А_k произошло?

3. Какое значение приняла случайная величина Х?

4. Какую совокупность значений приняла система случайных величин Х₁,Х₂,…Х_k?

Рассмотрим способы организации всех разновидностей единичного жребия. При любой организации жребия должен быть пущен в ход какой-то механизм случайного выбора. Механизмы могут быть самыми разнообразными, однако любой из них может быть заменен стандартным механизмом, позволяющим решить одну задачу: получить случайную величину, распределенную с постоянной плотностью от 0 до 1. Условимся для краткости называть такую случайную величину «случайное число от 0 до 1» и обозначать R.

1. Появилось или нет событие А?

Пусть вероятность события А равна p: Р(А)=р. Выберем с помощью стандартного механизма случайное число R и будем считать, что если оно меньше р, событие А произошло, если больше р – не произошло. Действительно: если R – случайное число от 0 до 1, то , где f(r)=1 при 0<r< 1 или

.

2. Какое из нескольких возможных событий появилось?

Пусть имеется полная группа несовместных событий: А₁,А₂,…А_k с вероятностями р₁,р₂,…р_k. Т.к. события несовместны и образуют полную группу, то р₁+р₂+…+р_k=1. Разделим весь интервал от 0 до 1 на k участков длиной р₁,р₂,…р_k.

Если случайное число R, выданное стандартным механизмом, попало, например, на участок р₃, это означает, что появилось событие А₃.

3. Какое значение приняла случайная величина?

Пусть нам требуется «разыграть» значение случайной величины Х, имеющей известный закон распределения. Случай, когда величина Х дискретна (т.е. имеет отдельные значения х₁,х₂,…х_k с вероятностями р₁,р₂,…р_k) рассматривать не будем, т.к. он сводится к предыдущему пункту 2. Рассмотрим случай, когда случайная величина Х непрерывна и имеет заданную непрерывную функцию распределения F(x) (рис.)

Докажем следующее утверждение: если взять на оси ординат случайное число R (от 0 до 1) и найти то значение Х, при котором F(x)=R, то полученная случайная величина Х будет иметь функцию распределения F(x).

Действительно, возьмем случайную величину Х и найдем её функцию распределения, т.е. вероятность Р(Х < х). Из рисунка видно, что для того, чтобы выполнялось неравенство Х< х, величина R должна принять значение, меньшее, чем F(x). Р(Х< х)= P(R< F(x)). Но случайное число R имеет постоянную плотность распределения f(r), равную 1 на отрезке (0,1); значит

, что и требовалось доказать.

Т.о. розыгрыш значения случайной величины Х с заданной функцией распределения F(x) сводится к следующей процедуре: получить случайное число R от 0 до 1 и в качестве значения Х взять X=F^-1(R), где F^-1 – функция, обратная по отношению к F.

Пример 1. Случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью f(x)=le^-lx (x>0). Построить процедуру единичного жребия для получения значения Х.

По заданной плотности f(x) находим функцию распределения:

(x>0).

График F(x) дан на рисунке.

Графически значение случайной величины Х можно разыграть так: взять случайное число от 0 до 1 на оси ординат и найти соответствующее ему значение абсциссы Х. Это же можно сделать расчетом, если написать: R=1-e^-lX и решать это уравнение относительно Х (т.е. найти обратную по отношению к F функцию). Имеем e^-lX=1-R, -lX=ln(1-R)ÞX= ln(1-R). Эту формулу можно упростить: вспомним, что если R – случайное число от 0 до 1, то (1-R)- также случайное число от 0 до 1, поэтому можно взять X = lnR. Т.о. процедура розыгрыша сводится к следующему: взять случайное число от 0 до 1, прологарифмировать его при натуральном основании, изменить знак и разделить на l.

Пример 2. Розыгрыш значения случайной величины, распределенной по нормальному закону (короче – «нормальной») с математическим ожиданием m_x и средним квадратичным отклонением. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

(1).

Удобнее применить не общее правило, а поступить иначе: перейти от Х к другой (т.н. «нормированной») случайной величины Z= (2), разыграть значение этой величины, а затем уже по ней найти Х. Это удобно потому, что m_z=0, и придется только один раз и навсегда найти обратную функцию. Легко показать, что значение нормальной случайной величины Х с характеристиками m_x, разыгрывается по формуле:

,

где Ф^-1 – функция, обратная функции Лапласа. Есть и другой способ, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей. Согласно этой теореме, при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин, сравнимых по своим дисперсиям, получается случайная величина, распределенная приближенно по нормальному закону, причем этот закон тем ближе к нормальному, чем больше случайных величин складывается (для большинства прикладных задач достаточно складывать 6 случайных величин от 0 до 1). В результате получается следующая процедура

.

4. Какую совокупность значений примет система случайных величин?

Пусть имеется система случайных величин: Х₁, Х₂, …Х_n с совместной плотностью распределения f(х₁,х₂,…,х_n. Если случайные величины независимы, то f(х₁,х₂,…,х_n)=f₁(x₁)f₂(x₂) …f_n(x_n) и розыгрыш совокупности значений системы х₁, х₂,…,х_n сводится к тому, чтобы разыграть каждую из них в отдельности, т.е. организовать n единичных жребиев типа, описанного в п.3. Если случайные величины зависимы, то f(х₁,х₂,…,х_n)=f₁(x₁)f(x₂/x₁)f(x₃/x₁x₂) …, где каждая последующая плотность распределения берется условная, при условии, что предыдущие случайные величины приняли определенные значения. При розыгрыше последовательности значений случайных величин получается сначала значение х₁ случайной величины Х₁; это значение берется в качестве аргумента в условной плотности f(x₂/x₁); разыгрывается значение х₂ случайной величины Х₂, оба значения х₁, х₂ берутся в качестве аргументов в условной плотности f(x₃/x₁x₂) и т.д.