Необходимо решить ДУ и СДУ на некотором наперёд заданном интервале с наперёд заданной точностью, либо оценить погрешность, которая найдена решением.
В ЧМ мы ищем только частные решения ДУ.
П.2. Простейший вариант задачи.
Простейший метод её решения – метод Эйлера.
Имеем ДУ 1-го порядка, а вместе с ним одно начальное условие:
(Задача Коши)
В дальнейшем всегда будем рассматривать ДУ, разрешенное относительно старшей производной, т.е. вида:
(6.1)
Общая идея всех методов численного решения ДУ и СДУ:
Фиксируем шаг h и будем находить по некоторым специальным формулам
- задан, , ,…, , где - равностоящие точки, а ,-границы интервала [a,b], на котором нам необходимо найти решение ДУ.
При этом, необходимо брать шаг h достаточно малым, с тем, чтобы погрешность была невелика.
Простейший метод решения ДУ – метод Эйлера:
Заметим, что- величина нам известная. Заменим неизвестное нам решение ДУ на касательную, а именно:
В общем виде: (формула Эйлера).
Геометрическая интерпретация метода Эйлера:
|
|
Локальная погрешность метода Эйлера:
П.3.Простейшая модификация метода Эйлера – метод Рунге-Кутта 2-го порядка.
Заменим приращение функции на первом шаге не на , как делали в методе Эйлера, а на более точное значение - на значение производной в середине интервала . А для того, чтобы найти .
Заменим
Окончательно получаем следующую формулу:
(6.3) Формула Рунге-Кутта 2го порядка с усреднением по
времени.