Свойство 1. .
Доказательство следует из того, что есть предел отношения неотрицательной величины к положительной величине:
.
Или из того, что – неубывающая функция своих аргументов.
Свойство 2. Вероятность попадания двумерной случайной величины в область равна . (22.2)
Доказательство. Согласно формуле (22.1) для любой точки имеем право записать приближенное равенство для значения вероятности попадания в прямоугольник : .
Пусть произвольная область . Обозначим событие, состоящее в попадании случайной точки в область D, так: .
Разобъём область прямыми, параллельными осям координат на п прямоугольников со сторонами и . Для простоты будем полагать, что эти прямые пересекают границу области D не более, чем в двух точках. Так как события, состоящие в попадании случайной точки в прямоугольники , несовместны, то вероятность попадания в область D может быть приближённо выражена формулой:
Переходя к пределу при и , получим .
Замечание 4. Геометрически равенство (22.2) можно истолковать так: вероятность попадания случайной точки в область D равна объёму тела, ограниченного сверху поверхностью плотности распределения , основанием которого является проекция этой поверхности на плоскость ОХУ.
Замечание 5. Выражение называют элементом вероятности. Элемент вероятности определяет вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и .
Свойство 3. Интегральная функция распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть выражена через её плотность вероятности по формуле: . (22.3)
Доказательство непосредственно следует из определения дифференциальной функции распределения.
Свойство 4. .
Доказательство. Двойной несобственный интеграл есть вероятность попадания случайной точки в . Событие является достоверным. Поэтому .