Предположим, что функция непрерывна на отрезке . Будем рассматривать интегралы от этой функции на отрезках при всевозможных . Очевидно, что результат интегрирования зависит от значения верхнего предела интегрирования. Поэтому обозначим . Имеем .
Рассмотрим . В соответствии с теоремой о среднем существует такое значение , что . Следовательно, . Переходя в последнем равенстве к пределу при и пользуясь непрерывностью функции в точке , получим
.
Последнее означает, что функция является первообразной для функции . Следовательно, если – любая первообразная функции , то по свойству двух первообразных одной и той же функции. Следовательно, , так как , и . Значит,
.
Последняя формула, называемая формулой Ньютона-Лейбница, как раз обеспечивает связь между интегралом Римана (его еще называют определенным интегралом) и первообразными. Формулу Ньютона-Лейбница еще записывают в виде
,
где вертикальная черта и индексы обозначают разность значений функций, соответственно, при верхнем и нижнем значениях переменной.
|
|