Если диэлектрик поместить в электрическое поле, то на границах, а в некоторых случаях и в объёме, появляются некомпенсированные связанные заряды. На рис. 1.8 схематически показан неполярный (а) и полярный (б) диэлектрики в электрическом поле.
Можно показать, что поверхностная плотность связанных зарядов
s¢ = Pn, (1.45)
где Pn – проекция поляризованности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика (рис. 1.9). Также можно показать, что объёмная плотность связанных зарядов определяется выражением
r¢ = -Ñ P. (1.46)
Другими словами, объёмная плотность связанных зарядов равна взятой с обратным знаком дивергенции поляризованности диэлектрика. Рис. 1.10 помогает понять смысл выражения (1.46). Точки, в которых дивергенция поляризованности больше нуля, служат источниками вектора поляризованности – из этих точек линии Р расходятся. Это значит, что в этих точках появляется некомпенсированный отрицательный связанный заряд.
Электрическое поле может создаваться как сторонними, так и связанными зарядами. Это означает, что можно записать
|
|
. (1.47)
С учётом выражения (1.46)
,
откуда следует, что
. (1.48)
Выражение в скобках (1.48) называют вектором электрического смещения или электрической индукцией D.
D = e0 E+P. (1.49)
С учётом выражения (1.42), получим
D = e0 E+ e0c E = e0(1+c) E = e0e E, (1.50)
где e =1+c – называется (относительной) диэлектрической проницаемостью среды.
Из уравнения (1.50) следует, что вектор D совпадает по направлению с вектором E. Это справедливо только для изотропных сред. В общем случае, для анизотропных диэлектриков, векторы D и E неколлинеарные.
В соответствии с формулами (1.48) и (1.49) получили, что источниками вектора электрической индукции могут быть только сторонние заряды:
. (1.51)
Проинтегрируем уравнение (1.51) по некоторому объёму V:
.
Выражение слева на основании теоремы Остроградского-Гаусса равно потоку вектора электрического смещения через поверхность, ограничивающую объём V:
,
а интеграл от плотности зарядов по объёму можно заменить суммой заключённых в этом объёме зарядов:
.
Приравнивая правые части последних двух равенств, получим теорему Гаусса для электрического смещения: поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности сторонних зарядов.
. (1.52)
Подчеркнём, что вектор D – вспомогательный вектор, описывающий электрическое поле. Основной характеристикой является напряжённость электрического поля.