Арифметика систем числення

План.

Мета: Вивчити поняття інформатики, системи численн. Методи перекладу одні системи у інші.

Інформатика. Системи числення.

Тема 1 Теоретичні основи інформатики.

Лекція 1 (2 години)

1. Поняття інформатика;

2. Системи обчислення;

3. Переклад однієї системи у інші;

Інформатика – це комплексна, технічна наука, що систематизує прийоми створення, збереження, відтворення, обробки та передачі даних засобами обчислювальної техніки, а також принципи функціонування цих засобів та методи керування ними. Термін “інформатика” походить від французького слова Informatique і утворене з двох слів: інформація та автоматика. Запроваджено цей термін у Франції в середині 60-х років XX ст., коли розпочалося широке використання обчислювальної техніки. Тоді в англомовних країнах увійшов до вжитку термін “Computer Science” для позначення науки про перетворення інформації, що грунтується на використанні обчислювальної техніки. Тепер ці терміни є синонімами.

Поява інформатики зумовлена виникненням і поширенням нової технології збирання, оброблення і передачі інформації, пов’язаної з фіксацією даних на машинних носіях.

Предмет інформатики як науки складають:

· апаратне забезпечення засобів обчислювальної техніки;

· програмне забезпечення засобів обчислювальної техніки;

· засоби взаємодії апаратного та програмного забезпечення;

· засоби взаємодії людини з апаратними та програмними засобами.

Засоби взаємодії в інформатиці прийнято називати інтерфейсом. Тому засоби взаємодії апаратного та програмного забезпечення інколи називають також програмно-апаратним інтерфейсом, а засоби взаємодії людини з апаратними та програмними засобами – інтерфейсом користувача.

Основною задачею інформатики як науки є систематизація прийомів та методів роботи з апаратними та програмними засобами обчислювальної техніки. Мета систематизації полягає у тому, щоб виділити, впровадити та розвинути передові, найбільш ефективні технології автоматизації етапів роботи з даними, а також методично забезпечити нові технологічні дослідження.

Інформатика – практична наука. Її досягнення повинні проходити перевірку на практиці і прийматися в тих випадках, коли вони відповідають критерію підвищення ефективності. У складі основної задачі сьогодні можна виділити такі основними напрямками інформатики для практичного застосування: ь архітектура обчислювальних систем (прийоми та методи побудови систем, призначених для автоматичної обробки даних);

· інтерфейси обчислювальних систем (прийоми та методи керування апаратним та програмним забезпеченням);

· програмування (прийоми, методи та засоби розробки комплексних задач);

· перетворення даних (прийоми та методи перетворення структур даних);

· захист інформації (узагальнення прийомів, розробка методів і засобів захисту даних);

· автоматизація (функціонування програмно-апаратних засобів без участі людини);

· стандартизація (забезпечення сумісності між апаратними та програмними засобами, між форматами представлення даних, що відносяться до різних типів обчислювальних систем).

На всіх етапах технічного забезпечення інформаційних процесів для інформатики ключовим питанням є ефективність. Для апаратних засобів під ефективністю розуміють співвідношення продуктивності обладнання до його вартості. Для програмного забезпечення під ефективністю прийнято розуміти продуктивність користувачів, які з ним працюють. У програмуванні під ефективністю розуміють обсяг програмного коду, створеного програмістами за одиницю часу. В інформатиці все жорстко орієнтоване на ефективність. Питання як здійснити ту чи іншу операцію, для інформатики є важливим, але не основним. Основним є питання як здійснити дану операцію ефективно.

В межах інформатики, як технічної науки можна сформулювати поняття інформації, інформаційної системи та інформаційної технології.

Інформація – це сукупність відомостей (даних), які сприймають із навколишнього середовища (вхідна інформація), видають у навколишнє середовище (вихідна інформація) або зберігають всередині певної системи.

Інформація існує у вигляді документів, креслень, рисунків, текстів, звуковиз в світлових сигналів, електричних та нервових імпульсів тощо. Саме слово ‘інформатика’ походить від латинського information, що означає виклад, роз’яснення факту, події.

Найбільш важливими властивостями інформації є:

· об’єктивність та суб’єктивність;

· повнота;

· достовірність;

· адекватність;

· доступність;

· актуальність.

Дані є складовою частиною інформації, що являють собою зареєстровані сигнали. Під час інформаційного процесу дані перетворюються з одного виду в інший за допомогою методів. Обробка даних містить в собі множину різних операцій. Основними операціями є:

· збір даних – накопичення інформації з метою забезпечення достатньої повноти для прийняття рішення;

· формалізація даних – приведення даних, що надходять із різних джерел до однакової форми;

· фільтрація даних – усунення зайвих даних, які не потрібні для прийняття рішень;

· сортування даних – впорядкування даних за заданою ознакою з метою зручності використання;

· архівація даних – збереження даних у зручній та доступній формі;

· захист даних – комплекс дій, що скеровані на запобігання втрат, відтворення та модифікації даних;

· транспортування даних – прийом та передача даних між віддаленими користувачами інформаційного процесу. Джерело даних прийнято називати сервером, а споживача – клієнтом;

· перетворення даних – перетворення даних з однієї форми в іншу, або з однієї структури в іншу, або зміна типу носія.

Інформаційна система

В інформатиці поняття “система” найчастіше використовують стосовно набору технічних засобів і програм. Системою називають також апаратну частину комп’ютера. Доповнення поняття “система” словом “інформаційна” відображає мету її створення і функціонування.

Інформаційна система – взаємозв’язана сукупність засобів, методів і персоналу, використовувана для зберігання, оброблення та видачі інформації з метою вирішення конкретного завдання.

Сучасне розуміння інформаційної системи передбачає використання комп’ютера як основного технічного засобу обробки інформації. Комп’ютери, оснащені спеціалізованими програмними засобами, є технічної базою та інструментом інформаційної системи.

У роботі інформаційної системи можна виділити такі етапи:

1. Зародження даних – формування первинних повідомлень, що фіксують результати певних операцій, властивості об’єктів і суб’єктів управління, параметри процесів, зміст нормативних та юридичних актів тощо.

2. Накопичення і систематизація даних – організація такого їх розміщення, яке б забезпечувало б швидкий пошук і відбір потрібних відомостей, методичне оновлення даних, захист їх від спотворень, втрати, деформування цілісності та ін.

3. Обробка даних – процеси, внаслідок яких на підставі раніше накопичених даних формуються нові види даних: узагалюючі, аналітичні, рекомендаційні, прогнозні. Похідні дані також можуть зазнавати подальшого оброблення, даючи відомості глибшої узагальненості і т.д.

4. Відображення даних – подання їх у формі, придатній для сприйняття людиною. Передусім – це виведення на друк, тобто виготовлення документів на так званих твердих (паперових) носіях. Широко використовують побудову графічних ілюстративних матеріалів (графіків, діаграм) і формування звукових сигналів.

Повідомлення, що формуються на першому етапі, можуть бути звичайним паперовим документом, повідомленням у “машинному вигляді” або тим й іншим одночасно. В сучасних інформаційних системах повідомлення масового характеру здебільшого мають “машинний вигляд”. Апаратура, що використовується при цьому, має назву засоби реєстрації первинної інформації.

Потреби другого і третього етапів задовольняються в сучасних інформаційних системах в основному засобами обчислювальної техніки. Засоби, що забезпечують доступність інформації для людини, тобто засоби відображення даних, є компонентами обчислювальної техніки.

Переважна більшість інформаційних систем працює в режимі діалогу з користувачем. Типові програмні компоненти інформаційних систем включають: діалогову підсистему введення-виведення, підсистему, яка реалізує логіку діалогу, підсистему прикладної логіки обробки даних, підсистему логіки управління даними. Для мережевих інформаційних систем важливим елементом є комунікаційний сервіс, який забезпечує взаємодію вузлів мережі при спільному вирішенні задачі. Значна частина функціональних можливостей інформаційних систем закладається в системному програмному забезпеченні: операційних системах, системних бібліотеках та конструкціях інструментальних засобів розробки. Крім програмної складової інформаційних систем важливу роль відіграє інформаційна складова, яка задає структуру, атрибутику та типи даних, а також тісно пов’язана з логікою управління даними.

Системи числення

Одиниці інформації

У попередньому параграфі були розглянуті властивості інформації. Тепер задамося питанням, чи можна визначити кількість інформації, і в яких одиницях вона вимірюється?

Основною одиницею інформації в обчислювальній техніці є біт. Що таке битий, найпростіше зрозуміти на прикладах рівноімовірних подій. Наприклад, ви кидаєте монету, яка може впасти одній із сторін («орел» або «решка»). До кидання монети інформація про те, якою стороною впаде монета, відсутній. Після того, як монета кинута і ви дізналися результат, вважайте, що ви отримали інформацію, рівну 1 біту. Така ж кількість інформації міститиметься у відповідях на питання: «У якій руці цукерка?», «Хто першим вийде з дверей під'їзду: чоловік або жінка?».

Битий - це найменша порція інформації, що отримується при виборі між двома рівноімовірними подіями.

Назва «біт» для одиниці інформації вибрана не випадково. Подія, що має два результати, може бути записане за допомогою двох цифр: 0 і 1. Число, яке приймає два значення, називається двійковим числом, або по-англійськи Binary Digit (скорочено bit - битий). У дослідах з монетою випаданню «орла» можна привласнити значення 0, а «решки» - 1.

Декілька пізніше ми вивчимо двійкові числа, тобто числа, які складаються з нулів і одиниць. Такими числами в обчислювальній техніці представляється будь-яка інформація (див. наступний параграф).

Битий - одиниця досить дрібна, і її недостатньо для вимірювання об'ємів інформації, якими оперують сучасні комп'ютери і інші обчислювальні пристрої. Тому використовують крупніші одиниці, основним з них є байт:

1 байт = 23 = 8 битий

Байт кратний біту і є послідовністю з восьми двійкових знаків 0 і 1, наприклад, 10110100 або 00101110.

Ще крупнішими одиницями інформації є одиниці, кратні байту:

Звернете увагу, що приставка «кіло» означає не 1000, а число 1024. Саме таке число виходить при піднесенні двійки до десятого ступеня. Вибір цього числа визначається, перш за все, міркуваннями зручності: числа 1000 (=10³) і 1024 (=2¹⁰) трохи відрізняються один від одного.

Загальні відомості про системи числення

Коли вам на уроці пропонують записати яке-небудь число, ви, не замислюючись, зображаєте його за допомогою десяти арабських цифр 0, 1, 2...9. Ці цифри утворюють десяткову систему числення, і саме в цій системі висловлюється шкільна арифметика.

Система числення є позначеннями чисел і прийомами роботи з числами. Мінімальний набір знаків, за допомогою яких позначаються числа, називається алфавітом. Кількість знаків в алфавіті називається підставою системи числення.

Отже, в десятковій системі алфавіт утворений цифрами 0, 1, 2...9, а підстава рівна 10. З останньою обставиною пов'язана назва самої системи. Існують і інші системи числення, з якими ви познайомитеся в даному параграфі.

Відзначимо, що системи числення, не дивлячись на свою простоту і природність, є результатом тривалої еволюції. Десяткова система виникла в результаті рахунку на пальцях. Зародилася вона в Індії в 5 столітті і була викладена в рукописах на арабській мові, які датуються 9 століттям. Тому цифри цієї системи називаються арабськими.

Стародавні шумери, що жили в Двуречье в 3 тисячолітті до наший ери, використовували систему, алфавіт якої складався з шістдесяти цифр. За допомогою цієї системи можна було пронумерувати секунди в хвилинах, а хвилини - в годиннику. Окрім ділення часу на годинник, шумери ввели ділення кутів на градуси, хвилини і секунди. Один кутовий градус включає 60 хвилин: а одна хвилина - 60 секунд, тобто 1° (градус) = 60' (хвилин) і Г = 60" (секунд). Система, побудована таким чином, називається шестидесятеричной.

Двійкове числення не настільки стародавніше, як десяткове або шестидесяте-ричное: воно було запропоноване в 70-х роках 17 століть Готфрідом Лейбніцом. Алфавіт двійкової системи складається всього з двох цифр - 0 і 1. У інформатиці, крім двійкової системи, часто застосовується шістнадцятирична система числення (підстава рівна 16).

Запис чисел в двійковій системі

Розглянемо структуру звичних вам десяткових чисел. Записуючи яке-небудь десяткове число, наприклад 888, ми маємо на увазі, що права крайня вісімка відповідає одиницям (внесок в число рівний 8), наступна зліва від неї

вісімка - десяткам (внесок в число - 80), а ще правіша вісімка -сотням (внесок рівний 800). Це ж число ми могли б записати у вигляді суми:

888 = 8x100 + 8x10 + 8x1

Будь-яке десяткове число можна записати у вигляді суми різних ступенів підстави 10*. Наприклад:

1234 = lxlO3 + 2хЮ2 + Зхю1 + 4x10°

Аналогічно поступають і у разі двійкової системи, алфавіт якої утворений всього двома цифрами: 0 і 1. Запишемо в двійковій системі перші числа натурального ряду, а саме всі арабські цифри:

Тут двійкові числа ми позначили круглими дужками з індексом 2, щоб не плутати ці числа з десятковими. Перші дві цифри (0 і 1) в двійковій системі виглядають так само, як і в десятковій системі, оскільки записуються за допомогою одного розряду. При переході до третьої цифри («двійці») в двійковій системі потрібний ще один розряд, оскільки молодший розряд вже заповнений. У новий розряд записуємо 1, а в молодшому розряді залишається 0: (10)₂ = 2. Потім заповнюємо молодший розряд і отримуємо цифру (11)₂ = 3. Для запису наступної цифри потрібно вже відкривати новий розряд, оскільки наявні розряди заповнені. У новий розряд записуємо 1, а молодші розряди «обнуляємо». В результаті отримуємо: (100)₂ = 4. Представлення наступних цифр (5, 6, 7) знаходимо послідовним заповненням двох правих розрядів. При цьому діє принцип, зворотний «старшинству»: спочатку заповнюється молодший розряд, а потім - більш старший. Коли заповнилися всі три розряди, відкриваємо новий розряд і так далі. За допомогою чотирьох двійкових розрядів ми зможемо записати не тільки алфавіт арабських цифр, але і просунутися до числа 15, яке має вигляд

Будь-яке двійкове число, як і десяткове число, можна записувати у вигляді сум ступенів підстави, наприклад

Цьому числу відповідає десяткове число 54. Таким чином, запис числа в двійковій системі істотно довший, ніж в десятковій системі числення. Так для числа 54 досить всього два десяткові розряди, а в двійковій системі потрібно вже шість розрядів.

Не дивлячись на високу розрядність двійкових чисел, саме двійкова система була узята за основу при побудові обчислювальних машин. Зв'язано це з тим, що електронні елементи (трігери), з яких конструюється обчислювальна апаратура, відтворюють і розпізнають лише два стани, що позначаються як 0 і 1. В той же час для сучасних комп'ютерів, які можуть за один такт роботи процесора обробляти до 64 розрядів, висока розрядність - не перешкода.

Задамося питанням: скільки чисел можна записати за допомогою п бітів, тобто за допомогою n-разрядных двійкових чисел? Відповідь неважко отримати, якщо порівняти двійкову систему з десятковою. У десятковій системі за допомогою двох розрядів можна записати 100 (=10x10) чисел від 0 99. Використовуючи три розряди, можна представити вже 1000 (=10x10x10) чисел. Значить, кількість чисел, уявних за допомогою п розрядів, рівна а, тобто л-ой ступені підстави а. Для двійкової системи кількість чисел, які записуються за допомогою п бітів, буде рівна 2".

Лекція 2 (2 години)