Теорема 2 Двоїста задача

Якщо для всіх векторів P_j_,виконується умова

Δ_j≥0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на максимум)

або

Δ_j≤0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на мінімум),

то опорний план Х^*=((х₁)^*, (х₂)^*,......... (х_n)^*) є оптимальним.

Якщо після побудови симплекс-таблиці виявилось, що виконуються умови Т.1 (пункт а)), або Т.2 розв’язання задачі припиняється. Якщо виконуються умови Т.1 (пункт б)), то потрібно перейти до нового оптимального опорного плану, побудувавши наступну симплексну таблицю. Для переходу до нового опорного плану треба один вектор вивести з базису і на його місце ввести новий вектор, який не належить базису. У базис вводять вектор, якому відповідає найбільша за абсолютною величиною від’ємна оцінка Δ_j. Нехай існує така оцінка в k- му стовпці, тобто max| Δ_j | = Δ_k_.

Δ_j≤0

Тоді вектор Р_к вводимо у новий базис. Для знаходження вектора Р_r, який необхідно вивести, обчислюють співвідношення

Q= min(b_i/a_ik) (i=1,2…..m),

мінімальне значення якого досягається при i=r. Елемент a_rk називається розв’язувальним.

Рядок Р_r і стовпець Р_кна перетині яких знаходиться розв ’ язувальний елемент a_rk, називають розв’язувальним. Для перерахунку елементів нової (наступної) симплекс – таблиці користуються методом Жордана – Гауса.

3. Метод штучної бази.

Застосовується у тих випадках, коли в вихідній задачі ЛП, яка записана у канонічному вигляді, в системі обмежень немає необхідної кількості одиничних ортогональних незалежних векторів P_j, тобто важко вказати початковий опорний план.

М-метод полягає у використанні правил симплекс – методу до так званої задачі ЛП. Вона отримується із початкової додованням до лівої частини системи рівнянь таких штучних одиничних векторів з відповідними невід’ємними штучними змінними, щоб знову отримати m одиничних ортогональних лінійно незалежних векторів.

У цільовій функції задачі ЛП штучні змінні мають коефіцієнт - М (f(x)→max) або +М (f(x)→min), де під М ми розуміємо досить велике додатне число.

При розв’язанні цієї задачі симплекс-методом оцінки Δ_j будуть залежити від М. Для порівняння оцінок, треба пам’ятати, що М – достатньо велике додатне число, тому із базису будуть виключатися у першу чергу штучні вектори.

Якщо із базису всі штучні вектори вийшли, то ми отримали вихідну задачу.

Якщо оптимальний розв’язок М – задачі містить штучні змінні або М – задача нерозв’язна, то початкова задача також нерозв’язна.

4. Двоїста задача ЛП.

Пряма задача

, x_j ≥0 (j=1,2…..n)

де А – матриця системи обмежень задачі розміром m x n;

В – вектор стовпець;

С – вектор строка;

АХ≤В;

Z →max.

Двоїста задача

tr=, y_i ≥0 (i=1,2…..m)

де trA – транспонована матриця А;

trС – транспонований вектор С;

trB - транспонований вектор В;

AY ≥trC;

F →min.

Існує взаємно-однозначна відповідність між змінними: основним змінним прямої задачі відповідають додаткові змінні двоїстої задачі і навпаки:

Змінні прямої задачі
Основні	Додаткові
Х₁	Х₂	……..	Х_к	Х_к+1	Х_к+2	……….	Х_n
Y_n-k+1	Y_n-k+2	……..	Y_n	Y₁	Y₂	………	Y_n-k
Додаткові	Основні
Змінні двоїстої задачі

Ідея двоїстого симплексного методу полягає у зв’язку між розв’язуваннями прямої та двоїстої задач ЛП. Немає потреби окремо розв’язувати пряму задачу, а окремо двоїсту, оскільки розв’язок обох задач можна знайти за одними й тими самими симплекс таблицями, пам’ятаючи, що невідомим прямої задачі відповідають стовпчики таблиці, а невідомим другої – рядки таблиці.

Питання для самоконтролю.

· В чому полягає симплекс-метод із стандартним базисом?

· Коли використовують симплекс-метод зі штучним базисом?

· Принципи заповнення симплекс-таблиці.

· Що таке розв’язувальний елемент симплекс-таблиці?

· Як перевірити опорний план на оптимальність?

· Поясніть метод Жордана-Гауса.

· Що таке штучні змінні?

· Як по рішенню прямої задачі знайти рішення двоїстої задачі.

· В чому полягає ідея двоїстого симплекс методу

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.

Лекція 4

Тема лекції: Транспортна задача

Мета: ознайомити студентів з основними теоремами та методами розв’язання транспортної задачі

План лекції

1. Економічна та математична моделі транспортної задачі.

2. Основні теореми транспортної задачі.

3. Метод північно-західного кута (діагональний).

4. Метод найменших витрат.

5. Метод потенціалів.

Література:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

2. Іванюта І.Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник/ І.Д. Іванюта, В.І. Рибалка, І.А. Рудоміра – Дусятська. – К.: «Слово», 2008. – 296 с.

3. Кучма М.І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник/ М.І. Кучма. - Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. – 344 с.

4. А. Черемис, Р. Юринець, О. Мищишин. Методи оптимізації в економіці. Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006. – 152 с.

1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.

Транспортна задача одна з найпоширеніших задач лінійного програмування. Її мета – розробка найбільш раціональних шляхів і способів транспортування однорідної продукції від постачальників до споживачів.

У загальному вигляді транспортну задачу можна сформулювати так: в m пунктах постачання А₁,А₂,…… A_m (надалі постачальники) міститься однорідна продукція у кількості відповідно а₁, а₂,….. а_m_. Цю продукцію потрібно перевезти в n пункти призначення B₁,B₂,…… B_n (надалі споживачі) у кількості відповідно b₁, b₂,….. b_n_.Вартість перевезення одиниці товару (тариф) із пункту А_i в пункт B_j дорівнює с_ji_.

Математична модель транспортної задачі має такий вигляд:

F(x_ji)= ∑∑ x_ji с_ji_→ min (1)

за умов

∑x_ji =a_i (i=1,2…..m) (2)

∑x_ji =b_j (j=1,2…..n) (3)

x_ji≥0 (i=1,2…..m; j=1,2…..n) (4)

Алгоритм і методи розв’язання транспортної задачі можна використати для знаходження розв’язку деяких економічних задач, які не мають нічого спільного з транспортуванням вантажів. У цьому разі величини тарифів перевезення с_ji мають різний зміст залежно від конкретної задачі. До таких задач належать наступні:

· Оптимальне закріплення за верстатами операцій з обробки деталей. У них с_ji означає продуктивність праці.

· Розміщення сільськогосподарських культур за ділянками землі різної врожайності.

· Оптимальні призначення або проблема вибору.

· Задача про скорочення виробництва із врахуванням загальних витрат на виготовлення і транспортування продукції

· Збільшення продуктивності автомобільного транспорту за рахунок мінімізації порожнього пробігу

2 Основні теореми транспортної задачі.

Означення 1. Якщо у транспортної задачі виконується умова балансу

∑b_j = ∑a_i (5)

То задача називається закритою або збалансованою.

Означення 2. Планом транспортної задачі називається сукупність величин x_ji (i=1,2…..m; j=1,2…..n), який задовольняє умови обмеження (2) – (4).

Означення 3. Опорний план транспортної задачі називається не виродженим, якщо він містить N=m+n-1 додатних елементів x_ji

Означення 4. Якщо опорний план містить менше N<m+n-1 додатних елементів, то він називається виродженим.

Означення 5. Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю Х^*, яка задовольняє умови задачі (2) – (4) і для якої цільова функція F набуває мінімального значення.

Теорема 1. (Необхідна і достатня умова існування розв’язку задачі ТЗ).

Транспортна задача має розв’язок тоді і тільки тоді, коли вона збалансована, тобто виконується умова (5).

Теорема 2. Для того щоб деякий план Х транспортної задачі був оптимальним необхідно і достатньо, щоб йому відповідала така система із m+n чисел u_i (i=1,2…..m) v_j (j=1,2…..n) для якої виконуються умови

v_j - u_i = с_ji для x_ji>0

v_j - u_i ≤ с_ji для x_ji=0.

Означення 6. Числа v_j та u_i називаються потенціалами строк та стовпців.

3. Метод північно-західного кута (діагональний.)

Побудова опорного плану задачі починають із заповнення верхньої клітинки таблиці x₁₁, в яку записують менше з двох чисел a₁ та b₁.

Далі переходять до наступної клітинки в рядку або стовпчику і заповнюють ії і т.д. Закінчують заповнювати таблицю у правій нижній клітинці.

Зауважемо, що користуючись методом північно-західного кута початковий опорний план залежить від величин a_i та b_j і зовсім не залежить від вартостей перевезення с_ji_,а тому він буде далекий від оптимального.

4. Метод найменшої вартості.

Сутність цього методу полягає у тому, що на кожному кроці заповнюють клітинки таблиці, яка має найменшу вартість перевезеня одиниці продукції між постачальниками та споживачами.

5. Метод потенціалів.

Після перевірки транспортної задачі на сбалансованість та визначення початкового плану транспортної задачі приступаємо до розрахунку потенціалів строк і стовпців для заповнених кліток:

v_j - u_i = с_ji для x_ji>0 (6)

Оскільки заповнених клітинок є m+n-1, то система рівнянь (6) із m+n невідомих містить m+n-1 рівнянь. Прийнявши одне невідоме за нуль, наприклад, u₁=0, решту знаходимо.

Для побудованого опрного плану і знайдених потенціалів обчислюємо оцінки вільних клітинок:

Δ_ji =v_j - u_i - с_ji

Якщо, Δ_ji ≤0, то побудований опрний план є оптимальним.

Якщо, хоча б для однієї клітинки ця умова не виконується, то опорний план не є оптимальним і треба від нього переходити до нового опорного плану.

Перехід від одного опорного плану до іншого здійснюється заповненням клітинки, для якої порушено умови оптимальності. Якщо таких клітинрк кілька, то для заповнення вибіраютьтаку, що має найбільшє порушенняі з неї будують цикл перерозподілу.

Означення 7. Циклом у транспортної задачі називають замкнену ламану лінію, вершини якої розміщуються в заповнених клітинках таблиці, а сторонни проходять уздовж рядків і стовпчиків таблиці.

Для вибраної вільної клітинки і клітинок, що пов’язані з нею циклом, здійснюють перерозподіл продукції в межах цього циклу за такими правилами:

· Кожній вершині циклу приписують певний знак, причому вільній клітинці – знак «+», а всім іншим по черзі- знаки «-» та «+»;

· У поржню клітинку переносять менше з чисел x_ji, що стоять у клітинках зі знком «-». Одночасно це число додають до відповідних чисел, які розміщені в клітинках зі знаком «+».

Приклад. Розв’язати транспортну задачу.

						u_i






v_j

Питання для самоконтролю.

· Чому транспортну задачу вирішують іншими методами, якщо це задача лінійного програмування?

· Яка транспортна задача називається закритою?

· Що робити якщо транспортна задача відкрита?

· Дайте означення опорного плану транспортної задачі.

· Коли опорний план транспортної задачі не вироджений?

· Що робити, якщо опорний план транспортної задачі вироджений?

· Дайте означення оптимального опорного плану транспортної задачі.

· Сформулюйте необхідні і достатні умови існування розв’язку транспортної задачі.

· Як построїти потенціали строк і стовпців?

· В чому полягає метод північно-західного кута?

· В чому полягає метод найменших витрат?

· Як визначити, що опорний план оптимальний?

· Дайте означення циклу перерозподілу поставок.

Тема 5. Цілочислове програмування

Тема 6.Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

Лекція 5.

Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.

Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач цілочислового та параметричного програмування.

План лекції

1. Задачі цілочислового програмування.

2. Метод Гоморі.

3. Параметричне лінійне програмування.

Література:

1. Лавріненко Н.М., Латинін С.М., Фортуна В.В., Безкровний О.І. Основи економіко-метематичного моделювання: Навч. Посіб. - Львів: «Магнолія 2006», 2010.- 540с.

2. Іванюта І. Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник / І. Д. Іванюта, В. І. Рибалка, І. А. Рудоміно-Дусятська. – К.: «Слово», 2008. - 296 с.

1. Кучма М. І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник / М.І. Кучма. – Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. - 344 с.

2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

1. Задачі цілочислового програмування.

Безліч економічних завдань вимагають цілочисельного рішення. До них належать завдання, у яких змінні величини означають кількість одиниць неподільної продукції (кількість верстатів при установці устаткування, розподіл судів по лініях, літаків по рейсам, обчислювальних машин в керуючому комплексі і т.д.).

У математичній моделі задачі цілочислового програмування як цільова функція так і система обмежень можуть бути лінійними, нелінійними і змішаними.
Ми будемо розглядати тільки лінійні задачі цілочислового лінійного програмування.

Задача цілочислового програмування формулюється так:

Z= (1)

за умов

,=b_i, i=, (2)

x_j≥0, (j=), (3)

x_j - цілі, (j=), (4)

умова цілочисельності (4), яка додається до звичайної задачі ЛП, суттєво ускладнює її розв’язання.

2. Метод Гоморі.

Сутність методу Гоморі (метод відтинання) полягає у тому, що спочатку розв’язується звичайна задача ЛП без урахування вимог цілочисельності змінних. Якщо отриманий оптимальний план задачі цілочисловий, то задача розв’язана. У протилежному випадку у модель вводиться спеціальне додаткове обмеження, що враховує цілочисельність змінних і володіє такими властивостями:

- вона повинна бути лінійною;

- вона повинна відтинати знайдений оптимальний нецілочисловий план задачі;

- не повинна відтинати ні одного цілочислового плану.

Додаткове обмеження, що має перелічені вище властивості, називається правильним відтинанням.

Це додаткове обмеження вводиться до оптимального плану якщо серед компонент оптимального є число з дробовую частиною. На базі цієї змінної будується додаткове обмеження Р.Гоморі:

де - дробова частина числа,

=а-[a].

[a] – ціла частина числа а, т.б. найбільше ціле число, яке не перевищує числа а.

Якщо оптимальний план задачі має де кілька дробових значень, то додаткову нерівність складають для тієї змінної яка має найбільшу дробову частину.

Геометричний зміст кожного лінійного додаткового обмеження відповідає проведенню прямої (гіперплощини), яка відтинає від многокутника допустимих розв’язків деяку його частину разом із оптимальним нечисловим планом. Причому не відтинаються точки з цілими координатами цієї області допустимих розв’язків. У результаті область допустимих розв’язків послабленої задачі поступово зменшується доти, доки всі змінні оптимального плану не набувають цілочислових значень.

Розглянемо метод Гоморі на прикладі.

Приклад 1.

за умов

3. Параметричне лінійне програмування.

Параметричне програмування являє собою один з розділів математичного програмування, вивчає завдання, в яких цільова функція або обмеження залежать від одного або кількох параметрів.
Необхідність розгляду подібних завдань обумовлена різними причинами. Однією з основних є та, що вихідні дані для чисельного рішення будь-якої реальної задачі оптимізації в більшості випадків визначаються наближено або може змінюватися під впливом якихось чинників, що може істотно позначитися на оптимальності вибираної програми (плану) дій. Відповідно, розумно вказувати не конкретні дані, а діапазон можливої зміни даних, що б в результаті рішення мати найкращі плани для будь-якого варіанту вихідних даних.
З математичної точки зору параметричне програмування виступає як один із засобів аналізу чутливості рішення до варіації вихідних даних, оцінки стійкості рішення.

Зауважимо, що існують різні підходи до подібного аналізу (наприклад, на основі постановки двоїстої задачі). Тут ми, не посилаючись на двоїсті оцінки, розглянемо найпростіші варіанти рішення для самих найпростіших параметричних задач.
Розглянемо задачу параметричного лінійного програмування, в якій тільки коефіцієнти цільової функції лінійно залежать від деякого єдиного параметра λ (часу, температури і т. п.):
Відшукати максимум (або мінімум) функції:

за умов

Якщо звернутися до геометричної інтерпретації задачі, то можна помітити, що вектор-градієнт лінійної форми визначається її параметром. Наприклад, для цільової функції L (х, λ) = λх₁ + (1-λ) х₂ при різних значеннях параметра λ градієнт визначає різні напрямки зростання функції.
Неважко бачити, що, якщо при деякому значенні параметра максимум досягається в вершині A, то невелика варіація цього значення дещо змінить напрямок градієнта, але не змінить положення точки максимуму. Звідси напрошується висновок, що деякий план, оптимальний при λ = λ₀ оптимальний і в околиці λ₀, тобто при α ≤ λ ≤ β де λ₀[α, β].
Можна помітити, що при градієнті, що став перпендикулярним деякої сторони багатокутника планів, маємо два різних оптимальних опорних плани з одним і тим же значенням лінійної форми, звідки можна стверджувати безперервність екстремуму лінійної форми за λ.

У разі необмеженість безлічі планів можна стверджувати, що якщо лінійна форма не обмежена при λ = λ₀, то вона не обмежена при всіх λ, більших або менших λ₀.
Алгоритм для вирішення завдань параметричного лінійного програмування в разі залежності від параметра коефіцієнтів цільової функції незначно відрізняється від звичайного симплексного методу.
У разі залежності від параметра компонент вектора правих частин обмежень, тобто рішення задачі пошуку екстремуму функції

за умов

Приклад 2.

за умов

Приклад 3.

за умов

Для того щоб вирішити задачу, достатньо вирішити двоїсту задачу до неї, яка має вигляд

за умов

Питання для самоконтролю.

· В чому суть методу Гоморі?

· Як составити додаткове обмеження, якщо компоненти оптимального плану дробові?

· В якому випадку задача ЦЛП не має рішення?

· Який геометричний смисл має додаткове обмеження?

· Яке відтинання є правільним?

· Сформулюйте параметричну задачу, параметр якої присутній у функції цілі.

· Сформулюйте параметричну задачу, параметр якої присутній у системі обмежень.

· Вкажіть на взаємозв’язок параметричної задачі та стійкості рішень задачі ЛП.

· Вкажіть взаємозв’язок параметричної задачі на чутливість рішень задачі ЛП.

Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці.

Лекція 6.

Тема лекції: Економічний ризик: ігрові моделі. Матричні ігри

Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач теоріі ігор та зведення їх до задач ЛП.

План лекції

1. Постановка задач теорії ігор з нульовою сумою.

2. Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.

3. Ігри в мішаних стратегіях.

4. Зведення задач теорії ігор до задач ЛП.

Література:

3.Кучма М. І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник / М.І. Кучма. – Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. - 344 с.

4. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

1. Постановка задач теорії ігор з нульовою сумою.

На практиці дуже часто виникають ситуації, коли необхідно приймати рішення в умовах невизначеності, тобто в умовах, коли дві або більш сторін мають на меті різні цілі, но результат для кожної із сторін залежить від дій супротивника. Наприклад, гра в шахи, шашки і т.д. В економіці конфліктні ситуації зустрічаються дуже часто: продавець і покупець, банк і клієнт, постачальник і споживач.

В 1944 році з’явилася математична дисципліна – теорія ігор, основою для якої стала монографія американського економіста Неймана.

Теорія ігор – це теорія математичної моделі конфліктних ситуацій, інтереси гравців котрих різні і кожний з них досягає своєї цілі (мети) різними шляхами.

Результат гри є виграшем для одних і програшем для других.

Означення 1. Модель любої конфліктної ситуації зветься грою.

Означення 2. В процесі гри кожний гравець висуває власну стратегію. Стратегія гравця – сукупність правил, по котрих при кожному ході відбувається вибір певних дій. Цей вибір залежить від сформованих обставин.

Означення 3. гра зветься парною, якщо в ній беруть участь дві сторони.

Означення 4. Кількісна оцінка результатів гри зветься платою.

Означення 5. Парна гра зветься грою з нульовою сумою, якщо програш одного є виграшем іншого.

Означення 6. Стратегія гравця називається оптимальною, якщо при повторенні гри вона забезпечує гравцю максимально можливий середній виграш (або теж само- мінімально можливий середній програш).

1. Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.

Розглянемо парну гру:

Приклад 1. Задана платіжна матриця А парної гри з нульовою сумою: А=. Знайти ціну гри, сідлову точку гри.

Приклад 2..Задана платіжна матриця А парної гри з нульовою сумою: А=. Знайти верхнью та нижню ціну гри.

2. Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.

Якщо немає сідловок точки, то гра ведеться в мішаних стратегіях, тобто розглядається не вибір можливої стратегії, а ймовірність з котрою обирається ця стратегія. Мішана стратегія визначається сукупністю ймовірностей різних стратегій.

Нехай гравець А для визначення своєї мішаної стратегії використав метод випадкового вибіру.

Нехай х₁ – ймовірність вибору 1-ої стратегії;

х₂ - ймовірність вибору 2-ої стратегії;

…………………………………………………

x_m - ймовірність вибору m-ої стратегії.

Означення 1. Мішаною стратегією гравця А називається упорядкований набір m чисел х₁, х₂, ….., x_m, які задовольняють умовам: 0≤x_i≤1, i= =1.

Мішані стратегії гравців А та В позначають =(x₁,x₂, …, x_m), =(y₁,y₂,…,y_n).

Всяка матрична гра з нульовою сумою має оптимальне рішення в мішаних стратегіях, при цьому відхилятися гравцям від цих стратегій не вигідно.

Теорема. О методі знаходження рішення.

Для того, щоб число ν було ціною гри, а Х^* та Y^* - оптимальними стратегіями, необхідно та достатньо, щоб виконувались умови:

Визначення оптимальних стратегій та ціни гри створюють процес знаходження рішення гри.

Теорема 2. Якщо один з гравців використовує мішану оптимальну стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри ν незалежно від того, з якими частотами буде використовувати другий гравець стратегії, які вийшли до оптимальної стратегії(в тому числі і чисті стратегії).

Розглянемо гру з платіжною матрицею 2х2: A=.

Якщо сідлової точки нема, рішення гри є мішані стратегії =(х₁,х₂) та =(y₁,y₂) стратегії гравців А та В, для котрих ймовірністі x_i y_i відмінні від нуля, звуться активними.

Стратегію гравця А шукаємо по формулі ХА=, де Х=(х₁,х₂), =(ν, ν).

До даної системи рівнянь додаємо норміровочне рівняння х₁+х₂=1.

Для гравця В:

де Y=, =.

Розв’язавши систему рівнянь знайдемо оптимальні стратегії гравців та ціну гри ν.

Наслідок. Для того, щоб х^*, була оптимальною мішаною стратегією матричнох гри з матрицею А та ціною гри ν, необхідно та достатньо, щоб виконувались наступні нерівності:

Аналогічно для гравця В: Для того, щоб у^* була оптимальною мішаною стратегією матричної гри з матрицею А та ціною гри ν, необхідно та достатньо, щоб виконувались наступні нерівності:

Таким чином, для розв’язування гри необхідно визначити стратегії, що задовольняють вишенаведані системи обмежень та умови нормування:

0, =1, i=, , =1, j=.

Цей наслідок дозволяє сформулювати для розв’язання гри пару задач лінійного програмування.

3. Зведення задач теорії ігор до задач ЛП.

Якщо один з гравців застосовує свою оптимальну стратегію х^*, то інший не може покращити своє становище, тобто для оптимальної стратегії справедливі співвідношення:

j=, x_i≥0, =1, i=за умов ν→Мах.

Перетворимо цю задачу, здійснивши підстановку p_i=, і отримаємо

→Min,тому що ν→Мах.

Таким чином, маємо задачу ЛП, розв’язуючи яку, отримаємо значення p_i, за допомогою яких шляхом оберної підстановки визначимо оптимальні значення ймовірностей, що складають оптимальну мішану стратегію.

А здійснивши підстановку q_j=і враховуючи, що гравець В прагне мінімізувати програш, отримаємо пару двоїстих задач ЛП, розв’язання яких дозволить визначити оптимальні стратегії гравців А та В:

Таким чином, процедура розв’язування гри двох осіб є наступною:

1. Розраховуємо нижню та верхню ціну гри; якщо вони рівні між собою, то гра розв’язана.

2. Спрощуємо гру шляхом виключення домінованих стратегій.

3. Формулюємо пару задач ЛП, розв’язавши одну з яких, встановлюємо оптимальну мішану стратегію одного з гравців (зручніше гравця В).

4. За розв’язком прямої задачі знаходимо розвязок двоїстої задачі.

5. Шляхом оберненої підстановки визначемо оптимальні стратегії для спрощеної гри та доповнюємо їх домінованими чистими стратегіями з ймовірністю використання, що рівні нулю.

Питання для самоконтролю.

· Дайте визначення гри двох осіб з нульовою сумою.

· Дайте визначення сідловок точки.

· Дайте визначення середнього виграшу.

· Що таке чиста стратегія?

· що таке мішана стратегія?

· Що таке домінована стратегія?

· Сформулюйте основну теорему теорії ігор для двох осіб.

· Як звести задачу теорії ігор до задачі ЛП?

Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

Лекція 7.

Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування

Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач дробово-лінійного програмування методом та зведення їх до задач ЛП.

План лекції

1. Постановка задачі дробово-лінійного програмування.

2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задач ЛП.

3. Розв’язання задач дробово-лінійного програмування.

4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.

Література:

4. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

1. Постановка задачі дробово-лінійного програмування.

Серед оптимізаційних задач велике значення мають задачі, у яких необхідно знайти екстремальні значення економічних показників, які є відносними величинами. У таких задач умови обмеження нічим не відрізняються від умов обмежень у задачах лінійного програмування, але цільова функція являє собою дріб, у якому чисельник і знаменник представляють собою лінійні функції від змінних де х_i – компоненти оптимального плану.

Математична модель задачі дробово-лінійного програмування може бути використана для визначення рентабельності виробництва, витрат розрахункових на грошову одиницю продукції, собівартості продукції, продуктивності праці тощо.

Загальна постановка задачі дробово-лінійного програмування записується так:

Знайти такі значення змінних , які задовольняють системі обмежень:

(1)

умовам

(2)

при яких цільова функція

(3)

досягає максимуму (мінімуму).

Задача (1)-(3) являє собою задачу нелінійного програмування, тому що цільова функція z не є лінійною функцією змінних . Виконавши відповідні перетворення змінних (заміну змінних) задачу можна привести до задачі лінійного програмування й скористатися для її розв’язання симплекс-методом.

2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.

Позначимо знаменник цільової функції через . Природно, тут передбачається, що в області допустимих розв’язків . Це означає, що скрізь в області допустимих розв’язків знаменник не змінює знак. Тому, не обмежуючи області застосування, припустимо, що , тобто знаменник додатній. Якщо виявиться, що знаменник від’ємний, то, помноживши чисельник і знаменник на (-1), знову одержимо .

Таке позначення знаменника означає, що у задачі зявиться нове обмеження

, (4)

або

(5)

Цільова функція тепер має вид

(6)

Всі обмеження (1) помножимо на та одержимо

(7)

Введемо нові змінні

(8)

які будуть мати той жен знак, що й x_j, тому що . Тоді в нових змінних задача (1)-(3) записується у виді:

(9)

, (10)

(11)

(12)

Нагадоємо, що (11) – це нове обмеження, що з’явилося внаслідок підстановки.

У нових змінних t_j задача (9)-(12) уже є задачею лінійного програмування. Звернемо увагу на те, що хоча в початковому вигляді (1) задача записана в канонічному вигляді, це ніяк не обмежує області застосування підстановки, а просто означає, що перед підстановкою (4) систему треба приготувати до розв’язання, тобто вести додаткові змінні й, якщо потрібно, штучні, як того вимагає стандартна схема застосування симплексного методу.

3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.

Розв’янання задачі дробово-лінійного програмування проілюструємо на конкретному прикладі.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: