Анализ размерностей и теория подобия. Критерии подобия

Основная трудность, возникающая при экспериментальном исследовании конвективного теплообмена, заключается в том, что коэффициент теплоотдачи за­висит от многих параметров. Например, средний по поверхности коэффициент теплоотдачи от продольно омываемой пластины (см. рис. 5.2) зависит от длины пластины l, скорости набегающего по­тока w_ж и теплофизических параметров жидкости:

a = f ₁(l, w_ж, l, c, r, n) (5.12)

Размерности: Вт/(м²∙К); м; м/c; Вт/(м∙К); Дж/(кг∙К); кг/м³; м²/c.

Если проводить опыты, изме­няя m раз каждый из 6 параметров, влияющих на теплообмен, то суммарное число опытов будет N = m ⁶, т. е. порядка 10⁶.

Теория показывает, что число пара­метров зависит от выбора единиц изме­рения. Наименьшее число параметров получится, если единицы измерения бу­дут связаны с самой решаемой задачей. Так, в качестве единицы длины можно принять не метр, а длину пластины l. Для перевода всех параметров в «но­вую» систему единиц измерения поделим их на l в той же степени, в которой длина входит в их размерность:

a l ² = f ₂ (l / l, w_ж/ l, l l, c, r l ³, n/ l ²) (5.13)

Размерности: Вт/К; -; 1/c; Вт/К; Вт∙с/(кг∙К); кг; 1/c.

Число параметров в правой части уравнения уменьшилось, так как l / l = l, т. е., мы избавились от того параметра, который приняли за единицу измерения. Если теперь ввести еще три «новых» еди­ницы измерения: для времени l ²/n, для массы r∙ l ³ и, наконец, для отношения тепловой мощности к перепаду темпера­тур l∙ l (в рассматриваемой системе вели­чин единицы Вт и К раздельно не встре­чаются, а входят лишь в комбинации Вт/К), то в правой части рассматривае­мой зависимости останется всего два безразмерных параметра:

a∙ l /l = f ₃ (w_ж l / n, crn/ l) (5.14)

Такие же безразмерные параметры получаются и при анализе теплоотдачи от поверхности трубы, но определяющим размером в них будет не длина l, а диа­метр d, соответственно внутренний - при течении жидкости внутри трубы и наружный - при наружном обтекании трубы.

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (p-теореме) зави­симость между N размерными величина­ми, определяющими данный процесс, мо­жет быть представлена в виде зависимо­сти между составленными из них (N – К) безразмерными величинами, где К — число первичных переменных с неза­висимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. В уравнении (5.12) общее число пере­менных (включая a) равно 7, из них четыре первичных (их мы принимали за единицы измерения); соответственно без­размерных чисел в уравнении (5.14) N - К = 7 - 4 = 3.

Каждый из безразмерных парамет­ров имеет определенный физический смысл. Их принято обозначать первыми буквами фамилий ученых, внесших су­щественный вклад в изучение процессов теплопереноса и гидродинамики.

Число Нуссельта (1887-1957 гг.):

Nu = a l /l представляет собой безразмерный коэф­фициент теплоотдачи.

Число Рейнольдса (1842—1912):

Re = w_ж l / n выражает отношение сил инерции (ско­ростного напора) F _и = r∙w_ж²/2 к силам вяз­кого трения F _m ~ m∙w_ж/ l.

Безразмерные комплексы обычно не являются точным отношением каких-то сил, а лишь качественно характеризуют их соотношение. В данном случае сила вязкого трения между соседними слоями движущейся в пограничном слое жидко­сти, действующая на единичную площад­ку, параллельную плоскости y = 0, равна по закону Ньютона F _m= m (∂w/∂ y). За­меняя производную отношением конеч­ных разностей (∂w/∂ y)» w_ж/d_г, получим F _m» m∙w_ж/d_г , где d_г — толщина гидроди­намического пограничного слоя. Прини­мая во внимание, что d_г ~ l, получаем выражение F _m» m∙w_ж/ l.

При малых числах Re преобладают силы вязкости и режим течения жидко­сти ламинарный. При турбулентном течении в потоке преобладают силы инерции, поэтому завихрения интенсивно развиваются. При продольном обтекании пластины ламинарное тече­ние в пограничном слое нарушается на расстоянии х _кр от лобовой точки, на кото­ром Re_кp = w_ж· х _кр/n» 5·10⁵.

При течении жидкостей в трубах (см. рис. 5.3) ламинарный режим на ста­билизированном участке наблюдается до Re_кp= w∙ d / n = 2300, а при Re > 10⁴ уста­навливается турбулентный ре­жим (здесь d — внутренний диаметр трубы).

Число Прандтля (1875—1953):

Pr = c rn/l состоит из величин, характеризующих теплофизические свойства вещества и по существу само является теплофизической константой вещества.

В случае естественной конвекции скорость жидкости вдали от поверхности w_ж = 0 и соответственно Re = 0, но на теплоотдачу будет влиять подъемная сила F _п. Это приведет к появлению друго­го безразмерного параметра - числа Грасгофа:

Gr = g ∙b (t _c - t _ж) ∙ l ³/n². Оно характеризует отношение подъемной силы, возникающей вследствие теплового расширения жидкости, к силам вязкости.

При исследовании локального тепло­обмена кроме безразмерных чисел в уравнения войдут безразмерные коор­динаты, представляющие собой отноше­ние обычных координат к определяюще­му размеру. Для продольно омываемой пластины это будет Х = х / l.

Сложность метода анализа размерностей заключается в необходимости знания всех параметров, влияющих на искомую величину. Для неисследованных процессов эти парамет­ры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже опи­сан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные ус­ловия к ним, входят все влияю­щие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же са­мые безразмерные числа. Этим занимается теория подобия. И, наконец, если даже задача решена аналитически, то и в этом случае для удобства анализа решение часто при­водят к безразмерному виду. Например, построить графическую зависимость теп­лового потока через цилиндрическую стенку от всех параметров очень сложно, а зависи­мость в безразмерной форме Q /[l l (t _c1 - t _c2)] = f (d ₂/ d ₁) выразится с помощью единственной линии. Причем, если бы не было аналитического решения, мы могли бы эту линию построить на основании результатов экспериментов, а затем по­добрать вид функции. Не исключено, что мы бы угадали лога­рифмическую зависимость, но при не­большом интервале изменения парамет­ров ее легко спутать с линейной, тем более, что опытные точки сами отклоняются от точной кривой из-за по­грешности измерений. Никогда нет пол­ной уверенности, что подобранная эмпи­рическая зависимость точно соответству­ет неизвестному реальному закону, по­этому область ее применения всегда ограничивается теми интервалами изме­нения безразмерных параметров, в кото­рых проведен эксперимент.