Лекция № 26

Приложение двойных интегралов

Лекция № 25.

1. Вычисление площадей в декартовых координатах.

y

y = j(x)

S

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4;

x + y – 2 = 0.

Построим графики заданных функций:

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

2. Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx – масса элемента площади).

Координаты центра тяжести однородной пластинки:

Пример: Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами: ,

Решение. Заданная пластина имеет форму, показанную на рисунке.

Поскольку пластина однородна, то можно положить

Найдем статические моменты относительно осей O x и O y:

Найдем массу пластинки:

Найдем координаты центра тяжести:

3. Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

z

z = f(x, y)

x₁ y₁ x₂

x

y₂

y

V =

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x² + y² = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x₁ = -1; x₂ = 1;

4. Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле: