Лекция 9
Силы, распределенные по объему или по всей массе, называются объемными или массовыми силами.
Обозначим через главный вектор массовых сил, действующих на элемент массы . Тогда вектор плотности распределения массовой силы в данной точке есть
.
Предполагается, что вектор плотности силы зависит от выбранной точки и времени, т.е.
.
Эффект действия массовых сил на деформируемую сплошную среду объема выражается через главный вектор и главный момент
.
В МСС основную роль играют не массовые, а поверхностные силы. Поверхностными силами называются силы, распределенные по поверхности сплошной среды.
Обозначим через главный вектор поверхностных сил, действующих на элементарную площадку . Тогда соотношение
определяет вектор плотности распределения поверхностных сил, действующих на площадку .
Примерами могут служить силы вязкого взаимодействия двух касающихся объемов и , силы давления, архимедова сила и др. Вектор называют также вектором напряжений на данной площадке .
|
|
Относительно вектора плотности поверхностных сил принимается, что он зависит только от времени, от взятой точки и от направления нормали к поверхности в этой точке, но не зависит от вида самой поверхности, т.е.
.
Эффект действия поверхностных сил на все тело характеризуется главным вектором и главным моментом: , .
Докажем, что вектор напряжений можно представить как произведение орта на тензор второго ранга, который является функцией только координат и времени.
Для этого рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр с вершиной в точке.
Обозначим площадь треугольника АВС через а площади треугольников ВМС, АМС и АМВ соответственно причем индексы 1,2,3 при этих площадках, так
же как и при напряжениях приложенных к этим площадкам, означают ось координат, перпендикулярную к данной площадке
Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как абсолютно твердое тело, напишем уравнение движения центра инерции этой системы, общая масса которой пусть равна , а именно
, (9.1)
где вектор скорости центра инерции тетраэдра, - векторы напряжений, приложенные к соответствующим площадкам.
.
Замечая, что , получим
или . (9.2)
В проекциях на оси координат имеем
,
, (9.3)
.
Зависимость вектора напряжений от векторов напряжений на координатных площадках может быть с помощью (9.3) записана в виде
. (9.4)
. (9.5)
|
|
Этот тензор называется тензором внутренних напряжений или просто тензором напряжений.