Смешанное произведение трех векторов и его свойства.
Определение 1.4: Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторного произведения
Теорема 1.4: (выражение смешанного произведения векторов через прямоугольную систему координат сомножителей)
Если , , то
Доказательство:
Из теоремы 2.2 и теоремы 3.3 следует:
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.4: Для любых выполняется равенство:
(ассоциативный закон)
Доказательство:
Что и требовалось доказать.
Теорема 3.4: Для любых выполняются свойства:
1) Круговая перестановка сомножителей не изменяет смешанного произведения, а перестановка двух сомножителей изменяет знак смешанного произведения на противоположный.
2) Смешанное произведение обладает ассоциативностью
3) Смешанное произведение обладает распределительностью
Доказательство: (метод координат)
1)
2)
3)
Что и требовалось доказать.
Теорема 4.4: (геометрический смысл смешанного произведения) Модуль смешанного произведения векторов , , равен объему параллелепипеда, построенного на отрезках .
т.е.
Что и требовалось доказать.
Следствие 1: смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда вектора компланарны.
Следствие 2: объем тетраэдра .
Доказательство:
Построим параллелепипед на отрезках AB,AC,AD.
Тогда по теореме 4.4:
.
Что и требовалось доказать.