Общее понятие о погрешностях. Прямые и косвенные измерения

1 2 3 4 5 6

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Физика

Теория погрешностей

Методические указания по обработке результатов измерений

Вологда

Министерство образования и науки Российской Федерации

Вологодский государственный университет

Физика

Теория погрешностей

Методические указания по обработке результатов измерений

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГУ

Вологда

УДК 530.1

ББК 22.5

В 67

Рецензент:

В.А. Горбунов, д-р физ.-мат. наук,

профессор Вологодского государственного университета

В 67 Физика. Теория погрешностей. Методические указания по обработке результатов измерений – Вологда: ВоГУ, 2018. – 17 с.

В методических указаниях изложены основные положения теории погрешностей и приведены примеры обработки результатов измерений, в том числе графической, а также приведены примеры вычисления погрешностей.

Методические указания имеются в библиотеке и на сайте кафедры: http://physics.vogu35.ru. Образец полного оформления отчёта по лабораторной работе также имеется на сайте кафедры физики.

Составители: Кузина Л.А., доцент, канд. физ.-мат. наук

Левин В.В., доцент, канд. физ.-мат. наук

УДК 530.1

ББК 22.5

1. Общее понятие о погрешностях. Прямые и косвенные измерения

Одна из задач лабораторного практикума – научиться правильно измерять физические величины. Измерение – это процесс сравнения физической величины с однородной величиной, принятой за единицу. Различают прямые и косвенные измерения. При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно (например, определение длины стержня с помощью линейки) или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах (например, определение напряжения с помощью вольтметра). При косвенных измерениях измеряемая величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Примеры косвенных измерений в лабораторном практикуме:

· лабораторная работа «Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний», в которой момент инерции вычисляется после измерений периода колебаний с дополнительной нагрузкой () и без неё ():

(1.1)

· лабораторная работа «Определение модуля Юнга методом прогиба»

. (1.2)

Всякое измерение сопровождается погрешностью. Задача состоит в том, чтобы научиться правильно оценивать их. Назовём абсолютной погрешностью измерения какой-либо физической величины x модуль разности между истинным значением и измеренным:

. (1.3)

Более наглядное представление о точности измерений даёт относительная погрешность , показывающая, какую долю от измеряемой величины составляет её абсолютная погрешность:

. (1.4)

Относительную погрешность выражают также в процентах:

При измерениях в лабораториях кафедры физики относительная погрешность не должна превышать 10-12%. Если погрешность порядка 100% и выше, это значит, что измеряемая величина неизвестна совсем. В точных научных измерениях относительная погрешность может быть ниже миллионной доли процента.

Различают 2 класса погрешностей: случайные и систематические. Такие погрешности можно оценить, вычислить. Есть ещё грубые промахи – это результат непредсказуемого просчёта, неумения экспериментатора (например, показания сняты не по той шкале прибора или запись результата ошибочна). Промахи никаким закономерностям не подчиняются и анализу не подлежат. Единственный путь исключить промахи – переделать измерения заново, если возникло опасение, что промах допущен (например, какое-то измерение выделяется на фоне остальных или не укладывается в общий тренд).

Случайные погрешности – это такие погрешности, причины которых неизвестны и неконтролируемы; влияют на результат случайным образом, то в сторону его завышения, то в сторону занижения с равной вероятностью. Примеры случайных погрешностей: вибрация здания, колебания напряжения в сети, атмосферного давления, сквозняк в помещении, индивидуальное физиологическое состояние экспериментатора (при измерениях времени ручным секундомером, например), неравномерность или несимметричность намотки нитей в лабораторных установках «маятник Максвелла», «маятник Обербека», «Определение момента инерции маховика» и т.д. Предполагается, что случайные погрешности подчиняются определённым закономерностям.

2. Систематические погрешности – следствие несовершенства приборов (при прямых измерениях) или недостатков методов измерения (при косвенных измерениях). Систематические погрешности можно оценить, зная класс точности приборов, а также при анализе метода измерения. Систематические погрешности влияют на результат односторонним образом, либо его систематически занижая, либо только завышая.

Примеры систематической приборной погрешности:

· у прибора сбит нуль отсчёта, и он все время дает завышенный результат;

· штрихи на шкале прибора нанесли чуть дальше друг от друга, чем нужно, и прибор даёт систематически заниженный результат;

· в жидкостный термометр вместе с термометрической жидкостью попали неучтённые примеси, в результате чего её коэффициент теплового расширения оказался меньше, и термометр даёт заниженный результат; и т.п.

Класс точности приборов указывается в виде числа на шкале прибора, например: 0.5; 1.0 (лабораторные приборы массового употребления). Класс точности даёт максимальную абсолютную погрешность, выраженную в процентах от предела измерения (максимального значения измеряемой величины):

Так, если предел измерения амперметра 30 мА (вся шкала рассчитана на 30 мА), а класс точности амперметра , то абсолютная погрешность, даваемая амперметром, равна

Если при этом амперметр показывает ток 15 мА, то относительная погрешность составит

Если класс точности прибора не указан (простейшая линейка, например), то абсолютная приборная погрешность принимается равной половине цены деления. Здесь цена деления – интервал измеряемой величины, соответствующий расстоянию между соседними штрихами на шкале прибора. Примеры – табл.1.

Таблица 1

№	Измерительный прибор	Цена деления	Абсолютная приборная погрешность
	Линейка	1 мм
	Штангенциркуль	0.1 мм
	Микрометр	0.01 мм
	Индикатор перемещения	0.01 мм

Систематическая методическая погрешность при косвенных измерениях в той или иной мере есть всегда, поскольку на протекание любого явления влияет очень много факторов, и учесть их все невозможно. Чем б о льшее количество факторов учитываем, тем более сложная получится теория и громоздкая формула для расчёта искомой величины. Однако влияние некоторых факторов мал о, и их можно не учитывать. Например, во многих механических лабораторных работах пренебрегаем силой трения, потому что она мала (маятник Максвелла, маятник Обербека, крутильные колебания).

Систематическая погрешность вносится также при округлениях. При этом в соответствии с правилами округления абсолютная погрешность не превышает половины от единицы разряда последней оставленной при округлении значащей цифры (таблица 2).

Таблица 2

№	Округляемая величина x	Результат округления x	Абсолютная погрешность при округлении



	3.1415926	3.14	0.005
	9.80665 м/с²	9.8 м/с²	0.05 м/с²

Принято записывать измеренную величину и её абсолютную погрешность в виде:

. (1.5)

Эта запись означает, что искомая величина с достаточно большой вероятностью, удовлетворяющей экспериментатора, попадёт в интервал :

. (1.6)

Следует соблюдать некоторые правила при расчётах погрешности и записи результата; примеры см. в табл.3:

· вычисление погрешности не требует тщательных расчётов с точностью до большого количества значащих цифр. Достаточно одной (если вторая цифра – это 1, 2, 3, 7, 8, или 9) или двух (если вторая цифра равна 4, 5 или 6);

· в записи результата для изменяемой величины округляем все неверные цифры, кроме последней – той, в которой уже есть погрешность;

· абсолютная погрешность имеет ту же размерность, что и измеряемая величина, так что в записи типа (1.5) размерность лучше писать один раз за скобками;

· если величина сильно отличается от единицы, надо её записывать в стандартной форме с использованием множителя , одинакового для сам о й величины и для её абсолютной погрешности, вынесенного за скобку. Это нужно для того, чтобы была видна величина погрешности по сравнению с сам о й величиной.