Контрольные вопросы. Глава 4. Структурные схемы цифровых фильтров. Прямая и каноническая формы структурной схемы цифрового фильтра

Контрольные вопросы

1. Выведите формулу для z -преобразования последовательности x (n).

2. Перечислите свойства   z -преобразования и приведите соответствующие аналитические выражения.

3. Запишите общее выражение для передаточной функции цифрового фильтра.

4. Составьте разностное уравнение цифрового фильтра.

5. Что такое нуль-полюсная диаграмма цифрового фильтра?

6. Опишите последовательность действий при построении АЧХ по заданной нуль-полюсной диаграмме.

7. Как определяется устойчивость фильтра по нуль-полюсной диаграмме?

8. Приведите пример построения АЧХ цифрового фильтра по передаточной функции 1-го порядка.

9. Объясните, как составляется выражение для передаточной функции по заданным координатам нулей и полюсов.

Глава 4. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

4.1. Прямая и каноническая формы структурной схемы цифрового фильтра

Цифровой фильтр (ЦФ) можно реализовать или аппаратным способом, или программным. До появления интегральных микропроцессоров реализация ЦФ осуществлялась аппаратно, т.е. с применением цифровых микросхем так называемой "жесткой" логики, т.е. непрограммируемых. При этом использовались микросхемы, обеспечивающие задержку, и микросхемы многовходовых сумматоров. Эти же микросхемы использовались для реализации умножителей. По одному и тому же разностному уравнению ЦФ можно разработать различные структурные схемы, отличающиеся количеством используемых регистров задержки и сумматоров. При практической реализации ЦФ использование конкретной структурной схемы влияет на время обработки сигнала, габариты и цену устройства. В связи с этим, анализ структурных схем позволяет определить оптимальную структуру ЦФ, удовлетворяющую заданным требованиям по быстродействию, габаритам, цене и другим характеристикам.

С появлением микропроцессоров стало возможным осуществить программный способ реализации ЦФ. В этом случае на основе разностного уравнения в микропроцессор вводится программа, под управлением которой выполняется обработка цифровых отсчетов. Применение микропроцессоров позволило существенно сократить габариты ЦФ, повысить быстродействие и надежность устройства, уменьшить потребление энергии питания. Эти, а также ряд других достоинств, привели к широкому применению микропроцессоров для цифровой обработки. При использовании микропроцессора вопрос об оптимизации структурной схемы ЦФ, казалось бы, не стоит, так как общее разностное уравнение фильтра, например, вида (3.20) напрямую можно использовать для составления микропроцессорной программы. Однако, это не так.

Во-первых, кроме выражения (3.20), можно использовать другие формы представления разностного уравнения, которым соответствуют иные структурные схемы ЦФ. Исследования таких структур, проведенные для случая аппаратной реализации ЦФ, позволяют определить такую форму представления разностного уравнения, которая соответствует оптимальной структурной схеме, обладающей, например, лучшими характеристиками по быстродействию и по уровню ошибок.

Во-вторых, анализ структурных схем имеет практический интерес при использовании для цифровой обработки программируемых логических интегральных схем (ПЛИС), которые широко внедряются в технику обработки сигналов. Варьируя структуру функционального модуля, используемого в составе ПЛИС, разработчик может добиться улучшения характеристик модуля, например, повышения быстродействия и уменьшения задержек распространения сигнала.

Составим структурную схему ЦФ, используя его разностное уравнение (3.20)

                                                (4.1)

Рассмотрим различные формы структурных схем, составленных с использованием этого уравнения.

Прямая форма структурной схемы (рис. 4.1).

 

Рис. 4.1.

Прямая форма структурной схемы ЦФ.

 

Она содержит:

1) сумматор с числом входов L + M + 1;

2) М блоков задержки на один такт для получения задержанных последовательностей х (п - k);

3) L блоков задержки для получения задержанных последовательностей у (n - k);

4) М +1 блоков умножения последовательностей x (n - k) на коэффициенты a_k; 

5) L блоков умножения последовательностей у (n - k) на коэффициенты b_k.

Выходом цифрового фильтра является выход сумматора.

В прямой форме структурной схемы четко выделяются нерекурсивная (с коэффи­циентами a_k)и рекурсивная (с коэффициентами b_k)части. Относительная сложность структуры ЦФ характеризуется его порядком, т.е. числом ячеек задержки на один такт дискретизации. Обычно порядки нерекурсивной и рекурсивной частей фильтра (соответственно числа М и L) при его характеристиках указы­ваются отдельно.

Заметим, что цифровой фильтр, содержащий рекурсивную часть, не обязательно является БИХ-фильтром. При определенных условиях наличие нерекурсивной части в составе фильтра ограничивает протяженность его импульсной харак­теристики.

Обращенная форма структурной схемы.

Структуру цифрового фильтра можно составить в другой форме, отличной от рис. 4.1, если за основу взять выражение (3.17), представленное в виде 

                      (4.2)

Выражение (4.2) показывает, что в общем виде цифровой фильтр может быть представлен двумя последовательно включенными фильтрами, один из которых - чисто рекурсивный, а второй - чисто нерекурсивный (рис. 4.2).

 

Рис. 4.2.

Представление ЦФ в виде последовательного включения рекурсивного и нерекурсивного фильтров.

 

Запишем уравнения этих фильтров. Для первого фильтра

                      ,                                (4.3)

откуда

                                                         (4.4)

Для второго фильтра

                           ,                               (4.5)

откуда

                                                                      (4.6)

Взяв обратные преобразования от выражений (4.4) и (4.6), получим обычные разностные уравнения фильтров.

Для первого фильтра

                                                             (4.7)

Для второго фильтра

                                                                         (4.8)

По разностным уравнениям (4.7) и (4.8) составлена структурная схема фильтра (рис. 4.3), которую иногда называют структурой ЦФ по обращенной форме.

 

Рис. 4.3.

Обращенная форма структурной схемы ЦФ.

 

Каноническая форма структурной схемы

Заметим, что в структуре на рис. 4.3 ячейки задержки в обоих частях ЦФ служат для одинакового сдвига отсчетов одной и той же последовательности w (n).Следовательно, эти ячейки можно объединить так, как это показано на рис. 4.4.

 

Рис. 4.4.

Каноническая форма структурной схемы ЦФ.

 

Полученная структура, содержащая наименьшее число ячеек задержки, называется канонической формой структурной схемы цифрового фильтра.

К канонической форме можно придти и другим путем. Для этого в структуре прямой формы (рис. 4.1) поместим не один, а два сумматора. Получившуюся структуру можно рассматривать как два последовательно включенных фильтра (рис. 4.5).

 

Рис. 4.5.

Преобразование прямой формы для перехода к обращенной и канонической форме.

 

Используя свойство линейности и поменяв местами фильтры в составе рис. 4.5, мы придем к структуре на рис. 4.3 и далее к канонической форме на рис. 4.4.

Проведенное рассмотрение показывает, что получить новые структуры цифровых фильтров можно на основе двух положений:

 - видоизменением уравнения ЦФ;

 - перестановкой блоков в составе ЦФ, используя свойство его линейности.

Рассмотрим эти возможности на примере так называемого биквадратного блока, т.е. цифрового фильтра, рекурсивная и нерекурсивная части которого имеют одинаковый, второй порядок. Запишем уравнение биквадратного блока:

                                                              (4.9)

 

Рис. 4.6.

Структурные формы биквадратного блока: а) прямая, б) каноническая, вариант 1.

 

На рис. 4.6 показаны различные формы структурной схемы этого блока: прямая (рис. 4.6а) и каноническая по варианту 1 (рис. 4.6б). Обращенную форму составим на основе рис. 4.3, но ячейки задержки поместим после умножителей. Это позволит использовать более простые двухвходовые сумматоры (рис. 4.7).

 

Рис. 4.7.

Обращенная форма структуры биквадратного блока.

 

Применяя тот же прием (перестановка умножителей и ячеек задержки), из прямой формы на рис. 4.6,аможно перейти к канонической по варианту 2, в которой также используются два двухвходовых и один трехвходовой сумматоры (рис. 4.8).

 

Рис. 4.8.

Каноническая (вариант 2) форма структуры биквадратного блока.

 

Наконец, видоизменим уравнение биквадратного блока, поделив числитель на знаменатель в правой части (4.9):

Результат деления записывается в виде:

                         (4.10)

Цифровой фильтр, отвечающий функции (4.10), состоит из двух параллельно включенных ветвей, передаточные функции которых определяются слагаемыми правой части в (4.10). Заметим, что второе слагаемое в (4.10) соответствует цифровому фильтру 2-го порядка, но отличается от (4.9) отсутствием свободного члена в числителе. Структурная схема ветви с передаточной функцией Н ₂(z)может быть составлена в любом из рассмотренных вариантов. На рис. 4.9 показана структурная схема блока с передаточной функцией (4.10), в которой ветвь H ₂(z) представлена в канонической форме (вариант 2).

 

Рис. 4.9.

Каноническая форма структуры по варианту 2 с двумя параллельными ветвями.

 

Рассмотренные примеры не исчерпывают всех структур­ных вариантов биквадратного блока (их насчитывается око­ло ста) и приводились здесь лишь как иллюстрация возможностей мо­дификаций структур ЦФ, обладающих одним и тем же исходным уравнением.

Цифровые фильтры высокого порядка никогда не реализуются в прямой или канонической форме (рис. 4.1 и 4.4). Установлено, что эффекты конечной разрядности, в частности, неточное представление коэффициентов, в значительно меньшей степени влияют на характеристики фильтра, если его структуру видоизменить в последовательную или параллельную форму. При этом отдельные блоки, входящие в состав таких форм, должны представлять собой ЦФ возможно меньшего порядка.