Влияние способа закрепления концов стержня на критическую силу

Рисунок 5

Для стержня круглого сечения (рис. 5, б) путем несложной операции интегрирования можно найти

.

Кроме того,

, ,

откуда

и

Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника с основа­нием и высотой (рис. 5, в), имеем:

.

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейт­ральной оси:

В двутавровых балках касательные напряжения в точках поперечного сечения стенки в месте примы­кания ее к полке могут быть значительными, так как статический момент полки относительно нейтральной оси велик, а

Рисунок 6

толщина стенки даже в очень высоких балках невелика (10...20 мм); это следует из фор­мулы Журавского. В то же время нормальные напряжения в этих точках поперечного сечения лишь немного меньше максимальных (рис. 6). Проверка прочности в подобных случаях расчета двутавровых балок производится с использованием теорий проч­ности:

Определение главных напряжений при плоском изгибе

; (3)

(4)

Расчетные (эквивалентные) напряжения для полной проверки прочности балок при плоском поперечном изгибе рассчитываются по четырем теориям прочности

; (5)

(6)

; (7)

; (8)

Следует заметить, что необходимость в такой дополнительной проверке прочности определяется не толь­ко формой поперечно­го сечения, но и видом эпюр поперечных сил и изгибающих момен­тов.

Литература

Основная

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976г.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975г.

3. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.

4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов, «Высшая школа» М., 1975г.

Дополнительная.

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1975г.

2. Таран В.И. Сопротивление материалов. Пособие по решению задач,

издание «Демеу»Алматы, 1992г, 204с.

3. Качурин В.К. Сборник задач по сопротивлению материалов, «Наука», М., 1972г, 430с.

Лекция 14

ТЕМА: ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ

ПЛАН:

15.1 Определение устойчивости

15.2 Критическая сила. Допускаемая нагрузка

15.3 Формула Эйлера

Из теоретической механики известно, что равновесие абсо­лютно твердого тела может быть устойчивым, безразличным и неустойчивым. Например, шар, лежащий на вогнутой повер­хности, находится в состоянии устойчивого равновесия. Если ему сообщить небольшое отклонение от этого положения и отпус­тить, то он снова возвратится в свое исходное положение (рис. 1,а). Шар, лежащий на горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия (рис. 1, б).

Рисунок 1

Будучи отклоненным от этого положения, он в исходное положе­ние не возвращается, но движение его прекращается. Наконец, шар, лежащий на выпуклой поверхности, находится в состоянии неустойчивого равновесия (рис. 1, в). Будучи отклоненным от первоначального положения, он продолжает двигаться дальше.

Аналогичные примеры можно привести и из области равно­весия деформирующихся тел.

Так, длинный стержень при действии сравнительно неболь­шой осевой сжимающей силы (меньшей некоторого критическо­го значения) находится в состоянии устойчивого равновесия (рис.2,а).

Рисунок 2

Если незначительно изогнуть его какой нибудь поперечной нагрузкой и затем эту нагрузку убрать, то стержень вновь распрямится, примет первоначальную форму равновесия.

Искривленная форма равновесия стержня при этом оказыва­ется неустойчивой и потому невозможной.

При значении сжимающей силы, превосходящей определенное критическое значение, наоборот, прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой и поэтому сменяется криволинейной формой равновесия, которая оказывается при этом устойчивой (рис. 2,в).

Наименьшее значение сжимающей силы, при котором сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой и обозначается Р_кр (рис. 2,б).

По определению Эйлера, критической силой называется сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны.

Рассмотренная схема работы центрального сжатого стержня носит несколько теоретический характер. На практике приходится считаться с тем, что сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стержень может иметь некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну.

Поэтому с самого начала продольного нагружения стержня наблюдается его изгиб.

Исследования показывают, что, пока сжимающая сила меньше критической, прогибы стержня будут небольшими, но при приближении значения силы к критическому они начинают чрезвычайно возрастать (рис. 2,в).

Этот критерий (теоретически неограниченный рост прогибов при ограниченном росте сжимающей силы) может быть принят за критерий потери устойчивости. Практически, стержень разрушится раньше, в результате исчерпания прочности материала.

Определив критическую силу, необходимо установить допускаемую нагрузку на сжатый стержень.

В целях безопасности допускаемая нагрузка, естественно, должна быть меньше критической:

[Р] = Р_кр /n_у, (1)

где n_у – коэффициент запаса устойчивости.

Коэффициент запаса устойчивости принимается таким, чтобы была обеспечена надежная работа стержня, несмотря на то, что действительные условия его работы могут быть менее благоприятны, чем условия, принятые для расчета (из-за неоднородности материалов, неточности в определении нагрузок и т.д.). При этом коэффициент запаса прочности, так как учитываются дополнительные неблагоприятные обстоятельства: начальная кривизна стержня, возможный эксцентриситет действия нагрузки и др.

Для стали нормативный коэффициент запаса устойчивости n_у принимается в пределах от 1,8 до 3, чугуна – от 5 до 5,5, для дерева – от 2,8 до 3,2. Указанные значения коэффициентов запаса устойчивости принимаются при расчете строительных конструкций. Значения n_у, принимаемые при расчете элементов машиностроительных конструкций (например, ходовых винтов металлорежущих станков), выше указанных; так, для стали принимают n_у= 4¸5. Чтобы лучше учесть конкретные условия работы сжатых стержней, рекомендуется применять не один общий коэффициент запаса устойчивости, а систему частных коэффициентов, так же как и при расчете на прочность.

Потеря устойчивости упругого равновесия возможна также при кручении, изгибе и сложных деформациях.

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

· формула Эйлера

· коэффициент приведенной длины

Влияние способа закрепления концов стержня на критическую силу

Рассмотрим, сжатый стержень в критическом состоянии, когда сжимающая сила достигла критического значения, т.е. примем, что стержень слегка изогнут (рис. З). Если моменты инерции относительно двух главных центральных осей поперечного сечения не равны между собой, то продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т. е. попе­речные сечения стержня будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значе­ние. В этом легко убедиться, сжимая гибкую линейку.

Для изучения продольного изгиба и определения критиче­ской силы используем приближенное дифференциальное уравне­ние изогнутой оси балки

Рисунок 3

. (2)

Изгибающий момент относительно центра тяжести сече­ния В в изогнутом состоянии

М = - Р_кр у. (З)

Знак минус берется потому, что стержень изгибается выпуклостью вверх, а прогиб у положительный. Если бы стержень изо­гнулся выпуклостью вниз, то момент был бы положительным, но прогибы и были бы отрицательными, и мы снова получили бы тот же результат (З). С учетом (З) уравнение (2) прини­мает вид

.

Обозначая a² = Р_кр / (EJ_min), получаем

. (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение, как известно из математики, имеет вид

. (5)

Здесь С и D — постоянные интегрирования, для определения которых используем известные условия на концах стержня: 1) при z=0, y=0; 2) при z= l, y=0.

Из первого условия получим С=0. Следовательно, стержень изгибается по синусоиде . Из второго условия полу­чим . Это соотношение справедливо в двух случаях.

1-й случай. D=0. Но если С=0 и D=0, то, как следует из уравнения (5), прогибы стержня равны нулю, что противоре­чит исходной предпосылке.

2-й случай. . Это условие выполняется, когда принимает следующий бесконечный ряд значений: где n — любое целое число. Отсюда , а так как , то . Таким образом, полу­чается бесчисленное множество значений критических сил, со­ответствующих различным формам искривления стержня.

С практической точки зрения интерес представляет лишь наименьшее значение критической силы, при котором происхо­дит потеря устойчивости стержня.

Первый корень n=0 не дает решения задачи. При n=1 получаем наименьшее значение критической силы:

(6)

Это и есть формула Эйлера.

Критической силе, определяемой по этой формуле, соответ­ствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной:

Следующие корни дают большие значения критической силы, и мы их рассматривать не будем. Им соответствует изгиб стерж­ня по синусоиде с несколькими полуволнами, который получает­ся в том случае, если изгиб по синусоиде с одной полуволной почему-либо невозможен, например из-за наличия промежуточ­ных связей.

Следует обратить внимание на то, что постоянная D, а следо­вательно, и форма изогнутой оси стержня остались неопреде­ленными.

Если применить для исследования продольного изгиба не приближенное, а точное дифференциальное уравнение изогнутой оси (см. изгиб, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки), то оказывается возможным определить не только значение критической силы, но и зависимость между сжимаю­щей силой и прогибом стержня.

Чаще всего концы стержня закрепляют одним из четырех способов, показанных на рис. 4.

Рисунок 4

Второй способ — шарнирное закрепление обоих концов — рассмотрен нами при выводе формулы Эйлера.

При других способах закрепления обобщенная формула Эйлера для определения критической нагрузки имеет вид

, (7)

где m — коэффициент приведенной длины стержня (коэффициент Ясинского), зависящий от способа закрепления концов стержня (рис. 4).

Формула (7) получается, если рассмотреть дифференци­альное уравнение продольного изгиба

,

которое следует из уравнения (4) после двукратного диффе­ренцирования.