Общая формула передачи графа

Передачей графа Т_ок наз. отношение сигнала в узле Х_к к сигналу в узле-источнике Х₀:

Т_ок=Х_к/X_o

Если источником является независимая переменная, то сигнал в любом узле Х_к =Т_окХ_о. В этом разделе дадим вывод формулы для определения Т_ок. Имеем граф.

Рис.3.9.

Исходя из рис 3.9, можно записать для каждого из узлов уравнения.

Х₁=T_o1X_o+T₁₁X₁=T₂₁X₂+T₃₁X₃

X₂=T₁₂X₁+T₂₃X₃+T₂₂X₂

X₃=T₃₃X₃+T₁₃X₁+T₂₃X₂

Граф имеет три узла, но в общем случае их может быть сколь угодно. Таким образом, решение может быть получено, если составить и решить матрицу состояния. В первую очередь необходимо найти определитель системы через передачи графа, который в дальнейшем будем называть определителем графа.

Определитель графа равен алгебраической сумме слагаемых, включающих единицу, передачи всех контуров и всевозможных произведений передач, не касающихся контуров по два, по три и т.д. Знак каждого произведения определяется множителем (-1)^к, где К- количество контуров в данном произведении. Это определение можно выразить следующим образом

Δ=((1-L₁)(1-L₂) ….(1-L_n))^*

Здесь L₁, L ₂ ….- передачи всех контуров графа. Звездочка означает, что после перемножения выражений в круглых скобках необходимо исключить из результата все сомножители, содержащие произведения передач касающихся контуров.

Покажем это, используя полученный раннее граф. Граф (рис.3.8) имеет три контура:

,

Контуры L₁ и L₂ равно, как и контуры L₂ и L₃, попарно касаются друг друга. Поэтому

Δ=1+(-1)¹(L₁+L₂+L₃) +(-1)²L₁L₃

Произведения L₁L₂, L₂L₃, L₁L₂L₃ исключены, так как в них входят касающиеся друг друга контура. После подстановки передач ветвей получим:

Обратим внимание на одно обстоятельство, которое принимаем без доказательства. Если пользоваться общими правилами составления графов, то для пассивных линейных цепей передачи всех контуров будут иметь отрицательный знак. Так как при нечетном числе контуров в произведении знак из-за множителя (-1)^* так же должен быть изменен на противоположный, в определителе не могут появиться отрицательные слагаемые.

Таким образом, при вычислении передачи графа удобно пользоваться следующим правилом. Составив граф, выявляют его контуры и находят знаменатель-определитель графа. В числитель записывают сумму передач всех имеющихся путей Р_к от узла-источника к узлу, сигнал в котором определяется. Каждую из этих передач умножают на знаменатель (определитель графа), в котором полагают нулю передачи контуров, которых данный путь касается.

Сомножители передач путей условимся называть алгебраическими дополнениями путей и обозначим их символом Δ_к. Общая формула передачи графа примет при этом окончательный вид

,