Электропроводность невырожденного и вырожденного газов

До сих пор мы не делали никакого различия между невырожденным и вырожденным электронными газами. Теперь попытаемся установить, как сказывается состояние электронного газа на его электропроводности. Для этого рассмотрим более подробно механизм проводимости невырожденного и вырожденного газов.

Невырожденный газ. В случае невырожденного газа плотность заполнения зоны проводимости электронами настолько небольшая, что они практически никогда не встречаются так близко, чтобы их поведение могло ограничиваться принципом Паули. Электроны являются полностью свободными в том смысле, что на движение любого из них другие не оказывают заметного влияния. Поэтому все электроны проводимости невырожденного газа принимают независимое друг от друга участие в создании электрического тока и формировании электропроводности проводника. Поэтому в формулы (5.13) и (5.5) для электропроводности невырожденного газа и подвижности электронов должны входить средняя длина свободного пробега , среднее число столкновений , средняя скорость движения и и среднее время релаксации всех свободных электронов, полученные усреднением этих величин по всему коллективу.

Учитывая это, выражения для подвижности электронов и удельной электропроводности невырожденного газа необходимо записать следующим образом:

(5.5׳)

. (5.13׳)

Вырожденный газ. Иная картина наблюдается для вырожденного газа. Из рис. 5.1, а видно, что для вырожденного газа все квантовые состояния, расположенные левее v _F , заняты электронами. Поэтому внешнее поле может воздействовать лишь на электроны, расположенные у уровня Ферми, переводя их на более высокие свободные уровни путем переброски из левой области распределения в правую, как показано стрелкой 1→ 1'. Это означает, что в вырожденном газе в формировании электропроводности могут участвовать не все свободные электроны, а лишь те из них, которые располагаются непосредственно у уровня Ферми. Поэтому в качестве времени релаксации в выражениях (5.5) и (5.13) следует брать время релаксации электронов, обладающих энергией, практически равной энергии Ферми. Обозначим его через τ_F.

Вводя в формулы (5.5) и (5.13) τ_F вместо τ, получим следующие выражения для подвижности электронов и удельной электропроводности вырожденного газа:

(5.5׳׳)

(5.13׳׳)

где λ_F –длина свободного пробега электронов, обладающих энергией Ферми; v_F — их скорость; υ_F — число столкновений, в результате которых рассасывается скорость в заданном направлении.

Для пояснения различия между поведением в электрическом поле невырожденного и вырожденного электронного газов приведем следующую грубую механическую аналогию.

Представим, что на поверхности воды, налитой в плоский горизонтальный сосуд A, плавают заряженные частицы-шарики, которые в отсутствие внешнего поля совершают беспорядочные движения с различными скоростями.

Поместим теперь этот сосуд во внешнее поле Е. Результат действия этого поля на «коллектив» шариков, как целое, будет зависеть от того, как плотно они уложены на поверхности воды. Если шариков мало, так, что расстояния между ними велики, то каждый из них движется практически свободно, не ограничивая движения своих соседей (рис, 5,4, а). В этом случае движение коллектива, как целого, под действием поля Е будет определяться средними параметрами движения отдельных «частиц»: средней скоростью , средним временем релаксации , средней длиной свободного пробега и т.д.

Рис.5.4

Если же шарики уложены предельно плотно, так, что на поверхности воды, занятой ими, не остается свободных мест, то движение «коллектива», как целого, под действием поля будет определяться движением нижнего поля частиц СС, отделяющего «занятые» состояния от «свободных» (рис.5.4 б): скоростью этих частиц v_С, временем релаксации τ_С, длиной свободного пробега λ_С и т.д. Для вырожденного электронного газа роль такого слоя выполняют электроны, располагающиеся у уровня Ферми, который отделяет занятые состояния от свободных.