Отделение корней.
Корень x* уравнения (1) считается отделенным на отрезке [ a; b ], если х* Î [ а; b ] и на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения (1), следует разбить область определения данного уравнения на отрезки, на каждом из которых содержится один и только один корень либо нет ни одного корня. Отделяют корни графическим и аналитическим методами, а также методом последовательного перебора.
Для отделения корней графическим методом строят график функции y=f(х) и находят точки пересечения графика с осью абсцисс и концы отрезков изолированного корня.
Алгоритм отделения корней уравнения (1) можно сформулировать так:
1. Найти область определения уравнения.
2. Найти критические точки функции f (х).
3. Записать интервалы монотонности функции f (x).
4. Определить знак функции f(х) на концах интервалов монотонности.
5. Определить отрезки, на концах которых функция f(х) приобретает значения противоположных знаков.
6. Найденные отрезки изоляции корней при необходимости сузить.
|
|
Метод деления отрезка пополам (или метод дихотомии) применяется для уточнения корня уравнения f (x)=0 с наперед заданной точностью.
За начальное приближение выбираем середину отрезка [ a; b ]
. (2)
Проводим исследование значения функции на концах отрезков [a; ] и [;b]. Искомый корень находится в том отрезке, на концах которого функция приобретает значение противоположных знаков. За новое приближение выбираем середину нового отрезка
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто выполнение условий:
. (3)