Нормированное пространство.
Метрическое пространство.
Пусть M – некоторое множество и любым двум его элементам x, y M ставится в соответствии неотрицательное число R+, причем выполняются условия:
1. x=y;
2. (симметрия);
3..
В таком случае пара называется метрическим пространством, отображение – метрикой (расстоянием), а M – множеством, на котором задана метрика.
Пример 2.1: Пусть, M – произвольное множество. Докажем, что – метрическое пространство.
Решение. Покажем, что для выполняются условия метрики 1–3.
1) из определения функции x=y;
x=y из определения функции.
2) =.
3) Проверим выполнение условия
.
Рассмотрим несколько вариантов расположения x, y и z.
a) x = y=z, тогда,, выполняется.
b) x = y z, тогда,, выполняется.
c) y=z x, тогда,, выполняется.
d) x = z y, тогда,, выполняется.
e) x y z, тогда,, выполняется.
Следовательно является метрикой, а – метрическим пространством.
Пример 2.2: Пусть, M= R. Докажем, что – метрическое пространство
Решение. Покажем, что для выполняются условия метрики 1–3.
|
|
1. (x,y) = 0, | x–y |=0 x–y =0 x=y;
x=yx–y =0 | x–y |=0 (x,y)=0.
2. (x,y) = | x–y | (y,x) = | y–x |
| y–x | =|–1(x–y)| =|–1|∙| x–y | = | x–y | | y–x | =| x–y |
(x,y) = (y,x).
3. (x,y) = | x–y |, (x,z) = | x–z |, (y,z) = | y–z |
Докажем, что ≤ +
= ≤ + = +.
Следовательно является метрикой, а – метрическим пространством.
При решении п.3 мы воспользовались свойством
≤ +.
Докажем его. Для этого рассмотрим 4 случая:
1. x> 0, y> 0
= x+y, так как = x, = y
2. x >0, y <0
а) > <
б) > <
<
< +
3. x <0, y <0
= =|–x–y |= + = +
4. x <0, y >0 доказывается аналогично п.2.
Задача 2.3: Докажите, что – метрическое пространство:
a),
M= R 2 (;);
b),
M= R 2 (;);
c),
M= R 2 (;).
Множество Х называется линейным пространством, если для любой пары его элементов определены операции сложения и умножения на число.
Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу х поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое || x ||, для которого выполняются условия:
1. || x || 0, причем || x ||=0 только при x= 0;
2. || x+у || || x ||+||у||,;
3. || x ||=| |∙|| x ||, R.
Пример 3.1: Множество вещественных чисел становится нормированным пространством, если положить || x ||=| x |.
Решение. Покажем, что для || x ||=| x | выполняются условия нормы 1-3.
1) По определению.
Если | x |=; если | x |= –.
А также | x |=0 x =0.
2) Если, так как | x |;
если.
3) || x ||=| x |=| |∙| x |=|=| |∙|| x| |.
Следовательно | x | является нормой, а множество вещественных чисел – нормированным пространством.
Пример 3.2: В пространстве R n с элементами можно положить в качестве нормы
1); 2); 3).
Пример 3.3: В пространстве C [ a, b ] непрерывных функций на отрезке [ a, b ] норму можно определить формулой
.
Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние. Из свойств нормы 1–3 вытекает справедливость аксиом метрического пространства.
|
|
Линейное пространство Е называется евклидовым, если любым двум элементам f,g поставлено в соответствие число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (f,g)(или f∙g), для которого выполняются условия:
1. коммутативность: (f,g)= (g, f);
2. линейность: (α f+βg, h)= α(f, h)+ β (g, h), R;
3. (f,f);
4. если (f,f)=0, то f =0.
Пример 4.1: Множество действительных чисел R является пространством со скалярным произведением (евклидовым пространством), если под скалярным произведением (х,у) чисел х и у понимать их обычное произведение: (х,у) = х ∙ у.
x =(,), y =(,)
x y = +
=
(x,y)=
В качестве нормы можно положить || x ||=| x |. Метрикой будет являться функция.
Пример 4.2: В арифметическом действительном линейном n -мерном пространстве Rn в качествескалярного произведения (х,у) векторов и можно взять:
(х,у) =.
В качестве нормы можно положить. Метрикой будет являться функция.
5. Действительные (вещественные) числа
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел (вещественных чисел) и обозначается R. Подмножества множества действительных чисел называются числовыми множествами. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Перечислим основные свойства, которыми обладают эти операции.
1. Операция сложения.
Для любой пары чисел R определено единственное число, называемое суммой и обозначаемое a+b, так что при этом выполняются следующие условия:
1.1. a+b = b + a.
1.2. (a+b)+c = a+(b+c).
1.3. Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0, что a+ 0= a.
1.4. Для любого числа a существует число, называемое ему противоположным и обозначаемое – a, для которого a +(– a)=0.
Число a+(–b) называется разностью чисел a и b обозначается a–b.
2. Операция умножения.
2.1. a∙b = b∙a.
2.2. (a∙b) ∙c = a∙ (b∙c).
2.3. Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что a∙ 1= a.
2.4. Для любого числа a существует число, называемое ему обратным и обозначаемое или 1/ а, для которого a ∙ =1.
Число a∙, b называется частным от деления a на b обозначается a:b или, или a/b.
3. Связь операций сложения и умножения.
(a+b)c=ac+bc, R
4. Упорядоченность (a˂b или a≤b)
4.1. a˂b, b˂c =˃ a˂c
5. Непрерывность
Если a˂b, то c a≤c≤b
Множество элементов, обладающих свойствами 1–5, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.
Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой, или числовой осью, а отдельные числа – ее точками.
=
(a;b)= - (интервал)
(a;b ]=
Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞, –∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается.
Любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.