К линейным относятся операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
2.1. Сложение векторов
Правило треугольника
Сумма векторов:
Как видно, здесь строится .
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
Правило параллелограмма Правило многоугольника
Теорема 1. Сложение векторов обладает свойствами:
1.
2.
3. (коммутативность сложения);
4. (ассоциативность сложения).
∆ 1.Пусть
2.Пусть
3.Смотри правило параллелограмма.
4. Смотри правило многоугольника:
▲
2.2..Вычитание векторов
Опр. Разностью двух векторов и называется вектор такой, что
Найдем вектор Для этого прибавим к обеим частям последнего равенства вектор:
Итак, разность векторов всегда существует. Её обозначают так:
2.3. Умножение вектора на число
Пусть некоторый вектор, вещественное число.
Опр. Произведением вектора на число называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:
1)
2) , если ,
, если .
Условиями 1) и 2) вектор определяется однозначно.
или , то есть и .
Теорема 2. Умножение вектора на число обладает свойствами:
1.
2.
3.
4. .
∆ Докажем первые два свойства.
1. Обозначим и покажем, что .
, то есть .
2. Обозначим .
Векторы и имеют одну и ту же длину.
Возможны случаи:
и и
и
И т.д.
Направления векторов и всегда совпадают, длины их равны. Следовательно, ▲
2.4. Векторные пространства
Рассмотрим все множество векторов и определим в нем линейные операции сложения и умножения на число. Такое множество называется линейным пространством, если при этом выполняются условия 1-4 для сложения и 1-4 для умножения на число.
Примеры векторных пространств:
Множество вещественных квадратных матриц 2-го порядка является 4-мерным линейным пространством.