Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство: для эллипса.
r1/d1=e
x£|a|, xe+a>0
r1=xe+a
d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)
Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.