Идеальное дифференцирующее звено описывается дифференциальным уравнением:
, (1-46)
т.е. выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины.
Передаточная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:
. (1-47)
Следовательно, комплексно-частотная характеристика (рис. 1 – 27) такого звена будет:
. (1-48)
Как следует из последнего выражения, идеальное дифференцирующее звено создает на всех частотах опережение выходного сигнала по отношению к входному на +900.
При подаче на вход такого звена скачкообразного сигнала, выходная величина hug(t) теоретически равна ¥ и существует только в момент времени, равный 0 (рис. 1 – 28). Такое звено является идеальным и можно представить в виде CR – цепочки (рис. 1 – 29), если предположить, что омическое сопротивление R равно 0 и выходное напряжение снимается с этого сопротивления.
Однако в реальных схемах включения конденсаторов всегда сопротивление R≠0, что искажает получаемые результаты и приводит к необходимости введения понятия так называемого реального дифференцирующего звена.
|
|
Это звено нашло чрезвычайно широкое распространение для коррекции динамических свойств регуляторов и реализуется в так называемом изодромном устройстве, а также при создании промышленных дифференциаторов.
Дифференциальное уравнение реального дифференцирующего звена записывается в виде:
. (1-49)
Отсюда, передаточная функция реального дифференцирующего звена
(1-50)
Комплексно-частотная характеристика звена получается в результате замены в передаточной функции p на iw:
(1-51)
В комплексной плоскости (рис. 1 – 27) комплексно-частотная характеристика реального дифференциального дифференцирующего звена представляет собой полуокружность в первом квадранте комплексной плоскости с радиусом , центр которого расположен на действительной положительной полуоси.
Переходная характеристика реального дифференцируемого звена, получаемая в результате решения уравнения (1-49), имеет вид:
(1-52)
Эта характеристика представляет собой, асимптотически приближающуюся к оси времени (рис. 1 – 30), причем в начале процесса ее значение характеризуется исходной величиной kx.
Постоянная времени реального дифференцирующего звена – T находится как подкасательная к переходной характеристике.