Модуль и основные неравенства.
x; x>0
|х|= 0; x=0
-x; x<0
|x|<h Û -h<x<h |x|>hÛ x>h
h>0 x<-h
1) " а,b Î R: |a±b|£|a|+|b|
2) " а,b Î R: |a-b|³||a|-|b||
Можно рассматривать окрестности бесконечности:
Оε(+¥)={xÎ R:x>ε} (////////// x
ε>0 ε
Оε(-¥)={xÎ R:x<-ε} ///////////) · x
ε>0 -ε 0
Оε(¥)={xÎ R:|x|>ε} \\\\\\) · (////// x
x>ε;x<-ε -ε ε
х – называется независимой переменной.
у – зависимой.
Функцию можно задавать равенством (у=х2)
Таблицей
Х | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 |
У | У1 | У2 | У3 | У4 |
Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:
Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D (]xÌD)
Пусть Х подмножество в области определения в f(x).
Функция у=f(x) называется:
1) Возрастающая на Х, если для любого х 1; х 2 принадлежащие Х: х1<x2Þf(x1)<f(x2)
2) Убывающий на Х, если для любого х 1; х 2 принадлежащие Х: х1<x2Þf(x1)>f(x2)
3 ) Не убывающий на Х, если для любого х 1; х 2 принадлежащие Х: х1<x2Þf(x1)£f(x2)
4 Не возрастающая на Х, если для любого х 1; х 2 принадлежащие Х: х1<x2Þf(x1)³f(x2)
|
|
Определение:
Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:
1) Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется x £ R
2) Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется А£х
3) Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется А£х£В, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется |х|£С
Лекция №2
Тема: Функции
Определение (сложная функция):
Пусть задано D,E,G,C,R
На D: y=f(x) с областью значения E
На E: z=g(y) с областью значения G
Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.
Пример: Пример
z=sin ex w=arctgcos exx-ln x
y=ex=f(x)
z=sin y=g(y)
D= R
E= R +
G=[-1;1]
Определение (обратной функции):
Пусть существует D,E,C,R
На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:
y=f(g(y)), " yÎE y=f(g(y)), для любого уÎЕ
Û
x=g(f(x)), " xÎD x=g(f(x)), для любого хÎD
Примеры:
1)y=x3 Û x=3Öy
D= R
E= R
2)y=x2 Û x=Öy
D= R + È{0}=[0;+¥)
E=[0;+¥)
D= R - È{0}=(-¥;0]
E=[0;¥)Û x=-Öy
3)y=sinx
D=[-p/2;p/2]
E=[-1;1]
x=arcsin y
yÎ[-1;1]; xÎ[-p/2;p/2]
Пусть y=f(x)
D=[a;b]
E=[A;B]
Определение: y=f(x), nÎN
a1=f(1)
a2=f(2)
an=f(n)
{an} – множество значений силовой последовательности nÎN или аn
|
|
{аn}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}
аn=1/n
{аn}={sin1;sin2;sinn}
аn=sinn
аn=(-1)n/n
{(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…}
Ограниченные последовательности.
1) Ограниченная сверху, то есть существует В так что аn£В, для любого nÎN
2) Ограниченная снизу, то есть существует А так что А£bn, для любого nÎN
3) Ограниченная, то есть существует А,В так что А£аn£В, для любого nÎN Û существует С>0 так что |аn|£С, для любого nÎN.