2014-02-18
413
1). 0 £ F (x)£1 для любого x Î Â1.
По определению функция распределения является вероятностью, поэтому свойство очевидно.
2). F (x) —неубывающая функция, т.е. при х 1 < х 2 выполняется неравенство F (х 1) £ F (х 2).
При х 1 < х 2 событие { x < х 1} влечет событие { x < х 2}, поэтому
Р (x < х 1)£ Р (x < х 2),
откуда следует свойство 2.
3). lim x®-¥ F (x) = F (-¥) = 0, lim x®+¥ F (x) = F (+¥) = 1.
Обозначим An = { x < хn }, где { хn } монотонно убывающая к - ¥ последовательность. Очевидно, что An Î F для любого n, и An+1 Í An - По лемме непрерывности (см. 1.1.3).
lim n®¥ P (An) = Р (A) = Р (Ç n An) = Р (x = -¥) = 0.
Но Р (An) = Р (x < хn), а это есть функция распределения, т.е. lim n®¥ F (хn) = 0для любой монотонно убывающей к -¥ последовательности { хn }, отсюда можно получить и соотношение: lim n® -¥ F (х) = 0.
Пусть 
= { x ³ хn }, где { хn } монотонно возрастающая к ¥ последовательность. Очевидно, что lim n®¥ P (Bn) = 0. Отсюда следует, что lim n®¥ [1 - F (xn)] = 0, следовательно и lim x®¥ [1 - F (x)] = 0.
4). Р (х 1£ x < х 2 )=F (х 2) - F (х 1).
Пусть А = { x < х 1}, В = { x < х 2} и C = { х 1£ x < х 2}. Тогда очевидно, что В = A È С и события A, С несовместны. По аксиоме 3 мы получаем, что
|
|
|
Р (x < х 2) = Р (x < х 1) + Р (х 1£ x < х 2),
и, следовательно,
Р (х 1£ x < х 2) = F(x 2 ) - F(x 1 ).
5). F (x) —- непрерывная слева функция, т.е. для любой последовательности чисел x 1, x 2,..., xn,..., сходящейся к числу х слева, выполняется
lim n®¥ F (xn) = F (x)
Пусть для определенности x 1, x 2,..., xn ,… возрастающая последовательность. Рассмотрим события
А = { x < х }, А 1 ={x < х 1 }, Аn = { хn- 1£ x < хn },
n = 2, 3,...
Очевидно, что A = È n Аn, причем А 1, А 2 .... попарно несовместные события, тогда по аксиоме 3 получаем
Итак, функция распределения любой случайной величины удовлетворяет вышеуказанным свойствам. Верно и обратное, а именно, если функция удовлетворяет свойствам 1-5, приведенным выше, то найдется случайная величина x, для которой эта функция будет функцией распределения.
