Независимость случайных величин

Пусть {W, F, Р } — вероятностное пространство, x ₁(w), x ₂(w), …, x_n (w) -заданные на нем случайные величины, и A ₁, A ₂, …, A_n - конечные или бесконечные промежутки в Â ¹.

Определение. Случайные величины x ₁(w), x ₂(w), …, x_n (w) называются независимыми, если выполняется следующее равенство

Как следствие, если взять в качестве A_i = (-¥, x_i), i = 1,2,..., n, получим: случайные величины x ₁, x _2, … x_n независимы, если выполняется следующее равенство

Отметим, что имеет место и обратное утверждение, т.е. если случайные величины x ₁, x _2, … x_n независимы, то выполняется следующее равенство

(доказательство этого утверждения можно найти в [1]).

Для проверки независимости двух случайных величин иногда удобно пользоваться следующими результатами.

Теорема. 1). Если случайный вектор x = (x ₁, x ₂) имеет дискретное распределение, то случайные величины x ₁ и x ₂ являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство

где a_i, b_j — значения случайных величин x ₁ и x ₂, соответственно.

2) Если случайный вектор x = (x ₁, x ₂) имеет непрерывное распределение, то случайные величины x ₁ и x ₂ являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Пример 1. Пусть случайные величины x ₁ и x ₂ имеют совместную функцию распределения

Проверим, являются ли независимыми случайные величины x ₁ и x _2. Найдем функции распределения этих случайных величин.

Теперь проверим:

Значит, x ₁ и x ₂ независимые случайные величины.

Пример 2. Пусть таблица распределения дискретного случайного вектора (x ₁, x ₂)следующая:

Проверим независимость случайных величин x ₁ и x ₂. Находим частные распределения x ₁ и x ₂ (см. 2.4.2.):

Теперь проверим соотношение из пункта 1) теоремы 1:

Соотношение 1) не выполнено. Отсюда получаем, что случайные величины x ₁ и x ₂ являются зависимыми.

Пример 3. Пусть x ₁ и x ₂ —независимые случайные величины. Рассмотрим случайную величину h = x ₁+ x ₂ Тогда, используя свойство 3 из предыдущего пункта и независимость случайных

величин x ₁ и x ₂, получаем

Дифференцируя последнюю формулу, получаем выражение для плотности p _h(t) распределения суммы h = x ₁+ x ₂:

Полученное выражение носит название «формулы свертки».