Числовые характеристики случайных величин
Определение 1. Математическим ожиданием случайной величины x называется следующее число
Математическое ожидание называют еще средним значением величины и обозначают также через М x. Заметим, что величину a k = Е xk, k > 0 называют начальным моментом (или просто моментом) порядка k случайной величины x. Для функции j (x) от случайной величины x (см. 2.3) математическое ожидание определяется так:
Для случайных величин, являющихся функциями f (x 1, x 2, …, xn) от случайных величин x 1, x 2,..., xn математическое ожидание определяется так:
Рассмотрим свойства математического ожидания.
1. Если x постоянная величина, т.е. x = С с вероятностью 1, то Е x = С. Действительно, если x = С вероятностью 1, то по определению математического ожидания получаем Е x = С × 1 = С.
2. E (Cx) = С × Е x.
Это и последующие свойства докажем для дискретного случая.
Если x дискретная случайная величина со значениями аk и вероятностями p k = Р (x = аk), k = 1,2,..., то согласно пункту 2.3 Сx является дискретной случайной величиной со значениями Саk и теми же вероятностями pk, k = 1,2,... Тогда по определению математического ожидания получаем
|
|
и получаем требуемое.
4. Е (x + h) = E x + Е h.
Пусть случайные величины x и h имеют следующие таблицы распределения:
и
Тогда
поскольку (см. 2.4.2)
где
Как следствие получаем
5. Если x и h независимые случайные величины, тогда
Пусть x и h случайные величины, введенные в свойстве 4. Как показано в 2.4.3 для независимых случайных величин x и h выполняются равенства