Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Величина

называется потоком вектора напряженности через площадку dS,

где Е_n  — проекция вектора напряжённости на нормаль n к площадке dS.

Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В×м.

Примечание. Полный поток вектора напряжённости электрического поля определяется интегрированием выражения для «элементарного» потока через площадку dS по всей поверхности S.

Немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) была доказана теорем, определяющая поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверх­ность.

В соответствии с выводами предыдущего раздела, поток вектора напряженности сквозь сферичес­кую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре, будет равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.

Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рисунок слева), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e₀, т. е. теорема Гаусса не теряет справедливости.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов.

Вводя суммирование под знак интеграла, записываем, что

Согласно закону Гаусса, каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q_i /e₀. Следовательно,

Полученная формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀.

Примечание. В специальной литературе она также носит название теоремы Остроградского-Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть размещены с некоторой объемной плотностью r = dQ/dV. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,

Используя эту формулу, теорему Гаусса можно записать так: